第二章 · 第二节
立方根
立方根的概念与³√运算

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解立方根的概念
  • 掌握立方根的性质
  • 能进行立方根运算
知识点一:立方根
📐 定义
如果一个数 x 的立方等于 a(即 x³ = a),那么 x 叫做 a立方根
记作:³√a,读作"三次根号 a"。
求一个数的立方根的运算,叫做开立方
若 x³ = a,则 x = ³√a
立方与开立方互为逆运算
知识点二:立方根的性质
  • 正数有一个正的立方根(如 ³√8 = 2)
  • 0的立方根是 0(即 ³√0 = 0)
  • 负数有一个负的立方根(如 ³√(-8) = -2)
知识点三:立方根与平方根的区别
比较项 平方根 立方根
个数 正数有两个(互为相反数) 任何数都只有一个
符号 正数的平方根一正一负 与被开方数同号
被开方数范围 只有非负数有平方根 任何实数都有立方根
记法 ±√a ³√a
💡 重要提示
³√(-a) = -³√a,负数的立方根是负数!
例如:³√(-8) = -³√8 = -2。这与平方根不同——负数没有平方根,但负数有立方根。

🎬 动画讲解

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📝 例题精讲

💡 提示:点击「下一步」按钮,逐步查看详细解题过程
例题 1 求 ³√27 的值
求 ³√27 的值。
³√27 = ?
🔍 解题过程
1 分析:什么数的立方等于 27?因为 3³ = 27,所以 3 满足条件。
2 判断:³√27 是 27 的立方根。立方根只有一个值,与被开方数同号。27 是正数,所以立方根为正。
3 结果:所以 ³√27 = 3
✅ ³√27 = 3
例题 2 求 ³√(-64) 的值
求 ³√(-64) 的值。
³√(-64) = ?
🔍 解题过程
1 分析:什么数的立方等于 -64?因为 (-4)³ = -64,所以 -4 满足条件。
2 判断:负数的立方根是负数。根据性质 ³√(-a) = -³√a,即 ³√(-64) = -³√64 = -4。
3 结果:所以 ³√(-64) = -4
✅ ³√(-64) = -4
例题 3 求满足 x³=-125 的 x
求满足 x³ = -125 的 x 的值。
x³ = -125,求 x
🔍 解题过程
1 分析:x³ = -125,说明 x 是 -125 的立方根
2 求解:因为 (-5)³ = -125,且立方根只有一个值,所以 x = -5。
3 结果:所以 x = -5
✅ x = -5

🚀 拓展提升

📊 立方根与平方根的对比

立方根和平方根有本质区别,理解这些区别是掌握实数运算的关键:

  • 个数不同:正数有两个平方根,但任何数只有一个立方根
  • 符号不同:平方根可正可负(互为相反数),立方根与被开方数同号
  • 被开方数范围不同:只有非负数有平方根,任何实数都有立方根
  • 运算记法不同:平方根用 √a,立方根用 ³√a

🔄 立方与开立方的互逆关系

立方开立方互为逆运算:

2³ = 8  ↔  ³√8 = 2
(-3)³ = -27  ↔  ³√(-27) = -3

立方是求一个数的三次幂,开立方是求立方的逆运算。注意:任何数都有立方根,而且只有一个。

✏️ 练习巩固

💡 提示:每道题作答后会立即显示解析,请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
³√8 = ?
A±2
B2
C-2
D4
第 2 题 ★★☆ 巩固
³√(-27) = ?
A3
B-3
C±3
D9
第 3 题 ★☆☆ 基础
³√125 = ______。
第 4 题 ★★☆ 巩固
³√(-1) = ______。
第 5 题 ★★☆ 巩固
下列说法正确的是?
A负数没有立方根
B正数有两个立方根
C任何数都有且只有一个立方根
D0 的立方根不存在

🧠 知识点问答

老师来考考你!下面的问题都来自本节课的知识点,看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦!
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课程完成!

恭喜你完成了「立方根」的学习!

📌 本节核心要点回顾:
① 立方根 ³√a 只有一个值,与被开方数同号
② 任何数都有立方根(正数一个正的,0 是 0,负数一个负的)
③ ³√(-a) = -³√a,立方与开立方互为逆运算

✏️ 做练习题