第一章 · 第四节

有理数的乘除法

乘法法则、除法法则及运算律

🎯 学习目标

掌握有理数乘法法则，能正确判断乘积的符号并计算绝对值
掌握有理数除法法则，能将除法转化为乘法进行运算
理解乘法运算律（交换律、结合律、分配律），并能灵活运用

✖️ 有理数乘法法则

① 两数相乘 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 如 (+3)×(+2)=+6，(+3)×(-2)=-6
② 与 0 相乘 任何数与 0 相乘，都得 0。 如 (-5)×0=0
③ 多个数相乘 几个不等于 0 的数相乘：负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负。若有因数为 0，则积为 0。如 (-2)×(-3)×(+4)=+24

🔀 乘法运算律

交换律 a × b = b × a

两个数相乘，交换因数的位置，积不变

结合律 (a × b) × c = a × (b × c)

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变

分配律 a × (b + c) = a × b + a × c

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加

➗ 有理数除法法则

法则一 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 如 (+6)÷(+3)=(+6)×(1/3)=+2
法则二 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 如 (-12)÷(-4)=+3
法则三 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 如 0÷(-5)=0

💡 重要概念：倒数

乘积为 1 的两个数互为倒数。
例如：3 和 1/3 互为倒数（3 × 1/3 = 1）；-5 和 -1/5 互为倒数（-5 × -1/5 = 1）。
注意：0 没有倒数；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

🎬 动画讲解：有理数的乘除法

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📝 例题精讲

例题 1 异号两数相乘

计算：(-4) × (+5) = ?

💡 解题过程

1判断符号： -4 与 +5 符号不同，属于异号相乘，根据法则「异号得负」，乘积的符号为负。

2绝对值相乘：把两个数的绝对值相乘：|-4| × |+5| = 4 × 5 = 20。

3写出结果：加上符号「-」，所以 (-4) × (+5) = -20。

✅ (-4) × (+5) = -20

例题 2 多个有理数相乘

计算：(-2) × (-3) × (+4) = ?

💡 解题过程

1先算前两个数： (-2) × (-3)，同号得正，绝对值相乘 2×3=6，所以 (-2) × (-3) = +6。

2再与第三个数相乘： (+6) × (+4)，同号得正，绝对值相乘 6×4=24，所以 (+6) × (+4) = +24。

3写出结果：也可以先看负因数个数：共 2 个负因数（偶数），积为正。
所以 (-2) × (-3) × (+4) = +24。

✅ (-2) × (-3) × (+4) = +24

例题 3 有理数的除法

计算：(-12) ÷ (-4) = ?

💡 解题过程

1判断符号： -12 与 -4 符号相同，属于同号相除，根据法则「同号得正」，商的符号为正。

2绝对值相除：把两个数的绝对值相除：|-12| ÷ |-4| = 12 ÷ 4 = 3。

3写出结果：也可以转化为乘法：(-12) ÷ (-4) = (-12) × (-1/4) = +3。
所以 (-12) ÷ (-4) = +3。

✅ (-12) ÷ (-4) = +3

🚀 拓展提升

🧩 负负得正的理解

为什么「负数 × 负数 = 正数」？可以从以下角度理解：

• 从数轴方向看：乘以正数表示沿原方向走，乘以负数表示反方向走。负数本身是「反方向」，再乘以负数就是「反向的反向」，回到正方向。

• 从实际意义看：如果「-3」表示每天水位下降 3 厘米，那么「2 天前」的水位变化为 (-3)×(-2)=+6，即比现在高 6 厘米。

(-3) × (-2) = +6 （负负得正）

🔄 倒数的概念

乘积为 1 的两个数互为倒数。关于倒数，需要注意以下几点：

• 0 没有倒数：因为 0 乘任何数都等于 0，不可能等于 1。

• 正数的倒数是正数：如 3 的倒数是 1/3，0.5 的倒数是 2。

• 负数的倒数是负数：如 -5 的倒数是 -1/5，-2/3 的倒数是 -3/2。

a × (1/a) = 1 （a ≠ 0）

除法法则的本质就是把除法转化为乘以倒数，体现了数学中的「转化思想」。

⚖️ 乘除法混合运算

有理数的乘除混合运算，关键是统一转化为乘法，然后先确定符号，再计算绝对值。

(-6) ÷ (+2) × (-4) = (-6) × (1/2) × (-4) = +12

解题步骤：① 将所有除法转化为乘法（乘以倒数）；② 确定积的符号（数负因数的个数）；③ 把所有绝对值相乘得到最终结果。

✏️ 实战练习

共 5 道题，完成后将显示你的练习成绩。加油！

第 1 题 ★ 基础

计算 (-3) × 4 的结果是？

A-12

B12

C-7

D7

第 2 题 ★ 基础

计算 (-5) × (-6) 的结果是？

A-30

B30

C-11

D11

第 3 题 ★★ 巩固

计算 (-8) ÷ 2 = ______

第 4 题 ★★ 巩固

计算 (-7) × 0 = ______

第 5 题 ★★★ 拓展

下列说法正确的是？

A任何数都有倒数

B0 的倒数是 0

C正数的倒数是正数

D负数的倒数是正数

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

🎉

恭喜你完成本课学习！

你已经掌握了有理数的乘法法则、除法法则以及乘法运算律。

📖

知识点 4 条

🎬

动画 7 步

📝

例题 3 道

✏️

练习 5 题

继续探索下一节内容，学习有理数的乘方！

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