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有理数的乘法与除法
乘除法法则、运算律及混合运算

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 熟练掌握乘法运算律（交换律、结合律、分配律）
  • 掌握除法法则及乘除混合运算的步骤
  • 能运用乘法分配律（正用与逆用）简化计算
知识点一：有理数乘法法则回顾
📐 乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与 0 相乘，都得 0。
同号得正：(+a)×(+b)=+ab  |  (-a)×(-b)=+ab
异号得负：(+a)×(-b)=-ab  |  任何数 × 0 = 0
知识点二：乘法运算律

有理数的乘法满足以下三条运算律，灵活运用可以大大简化计算：

交换律
ab = ba
两个数相乘，交换因数位置，积不变
结合律
(ab)c = a(bc)
三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变
分配律
a(b+c) = ab+ac
一个数乘两个数的和，等于分别相乘再相加
知识点三：有理数除法法则
📐 除法法则
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。
即：a ÷ b = a × (1/b)（b ≠ 0）
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
💡 重要提示
  • 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数，如 -4 的倒数是 -1/4
  • 0 没有倒数，因此 0 不能作除数
  • 除法转化为乘法时，注意符号：除数的倒数要带上原来的符号
知识点四：乘除混合运算步骤
1
统一化为乘法
把所有除法转化为乘以除数的倒数
→
2
确定积的符号
数负因数的个数：偶数为正，奇数为负
→
3
求绝对值的积
把各因数的绝对值相乘，得到最终结果
💡 技巧：分配律的逆用
分配律的逆用可以简化计算：ab + ac = a(b+c)
当两项有相同的因数时，把它提取出来，先算括号内的和，再相乘，往往更简便。

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1 运用乘法运算律简便计算
计算：
(-1/4) × (+8) × (-4)
🔍 解题过程
1 分析：观察到 (-1/4) 和 (-4) 互为倒数相关的数，乘积为整数。利用乘法交换律和结合律，把它们先乘：
(-1/4) × (+8) × (-4) = [(-1/4) × (-4)] × (+8)
2 计算：先算 (-1/4) × (-4)。同号得正，绝对值相乘：
(-1/4) × (-4) = +（1/4 × 4）= +1
3 求结果：再乘 (+8)：
(+1) × (+8) = +8
✅ (-1/4) × (+8) × (-4) = +8
例题 2 乘除混合运算
计算：
(-36) ÷ (+9) ÷ (-2)
🔍 解题过程
1 统一为乘法：把除法转化为乘以除数的倒数（注意带上符号）：
(+9) 的倒数是 1/9，(-2) 的倒数是 -1/2
(-36) ÷ (+9) ÷ (-2) = (-36) × (1/9) × (-1/2)
2 确定符号：因数有 (-36) 和 (-1/2) 两个负数，负因数个数是 2（偶数），所以积为正。
3 求绝对值的积：各因数绝对值相乘：
36 × (1/9) × (1/2) = 36 ÷ 9 ÷ 2 = 2
结果为正，所以最终答案为 +2。
✅ (-36) ÷ (+9) ÷ (-2) = +2
例题 3 逆用分配律简化计算
用乘法分配律计算：
(-5) × (-98) + (-5) × (+2)
🔍 解题过程
1 分析：两项都有相同因数 (-5)，逆用分配律 ab+ac=a(b+c)，提取公因数：
(-5) × (-98) + (-5) × (+2) = (-5) × [(-98) + (+2)]
2 计算括号内：先算 (-98) + (+2)：
异号相加，取绝对值较大的符号（-98 的绝对值大），
(-98) + (+2) = -（98 - 2）= -96
3 求结果：再算 (-5) × (-96)：
同号得正，绝对值相乘：5 × 96 = 480
所以结果为 +480。
✅ (-5) × (-98) + (-5) × (+2) = +480

🚀 拓展提升

🔄 乘法分配律的正用与逆用

乘法分配律 a(b+c) = ab + ac 是有理数运算中最灵活的工具，关键在于正用与逆用的灵活选择：

正用：a(b+c) → ab + ac  |  逆用：ab + ac → a(b+c)

正用：当括号外的数与括号内各项相乘能化简时使用，如 (-1/2)×(8-6) = (-4)+3 = -1
逆用：当多项中有相同因数时，提取公因数先算和更简便，如 (-5)×(-98)+(-5)×2 = (-5)×(-96) = 480
技巧：选择哪种方式，取决于哪种计算量更小、更不容易出错。

➖ 乘除法中的符号判断

乘除混合运算中，符号判断是最容易出错的环节。掌握一个核心方法：数负因数的个数。

负因数个数 = 偶数 → 结果为正  |  负因数个数 = 奇数 → 结果为负

步骤：先把除法统一化为乘法 → 统计所有负因数的个数 → 偶数为正、奇数为负 → 最后只算绝对值。
例：(-2)×(+3)÷(-6) = (-2)×(+3)×(-1/6)，负因数有 (-2) 和 (-1/6) 共 2 个（偶数），结果为正。

🔗 倒数与除法的关系

除法的本质是乘以倒数。理解倒数，就能把所有除法转化为乘法，统一运算规则。

a ÷ b = a × (1/b)  （b ≠ 0）

倒数要点：
① 乘积为 1 的两个数互为倒数，如 -3 的倒数是 -1/3；
② 正数的倒数为正，负数的倒数为负，符号不变；
③ 0 没有倒数，0 不能作除数；
④ 除法转乘法时，除数的倒数要保留原符号，如 (+4) 的倒数是 1/4，(-4) 的倒数是 -1/4。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
计算 (-6) × (-7) 的结果是？
A-42
B42
C-13
D13
第 2 题 ★☆☆ 基础
计算 (-24) ÷ (+6) 的结果是？
A-4
B4
C-30
D18
第 3 题 ★★☆ 巩固
计算 (-1/3) × (+9) = ______
第 4 题 ★★★ 提高
用乘法分配律计算：(＋7) × (-99) + (＋7) × (-1) = ______
第 5 题 ★★★ 提高
计算 (-2) × (+3) × (-4) ÷ (+6) 的结果是？
A-4
B4
C-12
D12

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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课程完成！

恭喜你完成了「有理数的乘法与除法」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数 × 0 = 0
② 乘法运算律：交换律 ab=ba，结合律 (ab)c=a(bc)，分配律 a(b+c)=ab+ac
③ 除法法则：除以一个数等于乘它的倒数；同号得正，异号得负
④ 乘除混合：先统一化为乘法，再定符号（数负因数个数），最后算绝对值

✏️ 做练习题