第六章 · 第一节

几何图形

立体图形与平面图形,展开图

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 认识常见的立体图形和平面图形
  • 了解立体图形与平面图形的关系
  • 认识立体图形的展开图和三视图
立体图形
📐 立体图形的定义
棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等都是立体图形。它们的各部分不都在同一平面内,具有一定的体积。
平面图形
📐 平面图形的定义
线段、角、三角形、长方形、圆等都是平面图形。它们的各部分都在同一平面内
📦 立体图形
棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等
各部分不都在同一平面内
有体积,占据空间
📐 平面图形
线段、角、三角形、长方形、圆等
各部分都在同一平面内
有面积,没有厚度
立体图形的三视图
👁️ 三视图
从不同方向看立体图形,可以得到不同的平面图形:
  • 正面看 → 主视图
  • 左面看 → 左视图
  • 上面看 → 俯视图
展开图
✂️ 展开图
立体图形沿某些棱剪开铺平后得到的平面图形,叫做它的展开图。
正方体
6 个正方形
组成"十字形"等
圆柱
2 个圆
+ 1 个长方形
圆锥
1 个扇形
+ 1 个圆
💡 重要提示
正方体的展开图共有 11 种基本形式!分为以下几类:
  • ① "一四一"型:中间 4 个正方形一排,上下各 1 个
  • ② "二三一"型:中间 3 个一排,一侧 2 个一侧 1 个
  • ③ "二二二"型:每排 2 个,共 3 排(阶梯状)
  • ④ "三三"型:每排 3 个,共 2 排
"田"字形(4个正方形)不能折叠成正方体,因为正方体需要 6 个面!

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📝 例题精讲

💡 提示:点击「下一步」按钮,逐步查看详细解题过程
例题 1 立体图形与平面图形的识别
下列图形中哪些是立体图形?哪些是平面图形?
①三角形 ②圆柱 ③长方形 ④球 ⑤圆锥 ⑥圆
🔍 解题过程
1 识别立体图形:立体图形的各部分不都在同一平面内。其中 ②圆柱、④球、⑤圆锥 是立体图形。
2 识别平面图形:平面图形的各部分都在同一平面内。其中 ①三角形、③长方形、⑥圆 是平面图形。
3 总结:立体图形各面不在同一平面,具有体积;平面图形各部分在同一平面内,具有面积。
✅ 立体图形:②④⑤;平面图形:①③⑥
例题 2 正方体展开图的判断
一个正方体的展开图由 6 个正方形组成,判断"田"字形能否折叠成正方体?
🔍 解题过程
1 分析"田"字形:"田"字形是由 2 × 2 = 4 个正方形组成的,只有 4 个面
2 对比正方体:正方体共有 6 个面(上、下、前、后、左、右),展开图必须由 6 个正方形组成。
3 得出结论:"田"字形只有 4 个正方形,面数不足,不能折叠成正方体。
✅ "田"字形不能折叠成正方体(只有4个面,正方体需要6个面)
例题 3 圆柱的展开图
圆柱的展开图是什么形状?请说明各部分的含义。
🔍 解题过程
1 分析底面:圆柱有两个底面,都是圆形(上底面和下底面),展开后得到 2 个圆
2 分析侧面:圆柱的侧面展开是一个长方形,其中长方形的长 = 底面圆的周长,宽 = 圆柱的
3 得出结论:圆柱的展开图由 2 个圆 + 1 个长方形 组成。
✅ 圆柱的展开图 = 2 个圆(底面)+ 1 个长方形(侧面)

🚀 拓展提升

🎲 正方体的 11 种展开图

正方体的展开图共有 11 种基本形式,按排列特征可分为以下几类:

"一四一"型 6种 "二三一"型 3种 "二二二"型 1种 "三三"型 1种
"一四一"型(6种)—— 中间4个一排,上下各1个
① 上1下1
② 上1下2
③ 上1下3
④ 上1下4
⑤ 上2下2
⑥ 上2下3
"二三一"型(3种)—— 上排2个,中排3个,下排1个
⑦ 下方居中
⑧ 两侧错位
⑨ 下方居中
"二二二"型(1种)—— 阶梯形排列,每排2个
⑩ 阶梯形
"三三"型(1种)—— 两排各3个,错位排列
⑪ 两排错位

注:三三型中间看似有2×2相连,但两端各延伸1格,可正常折叠成正方体

💡 判断技巧:展开图必须有且仅有 6 个正方形。独立的"田"字形(仅4格组成2×2)不能折叠成正方体;但三三型中两端各有1格延伸的2×2相连是有效的。

🏗️ 三视图的应用

三视图是工程制图、建筑设计的基石。通过主视图、左视图、俯视图三个方向的投影,可以完整地描述一个立体物体的形状和尺寸。

工程制图 建筑设计 机械制造 3D建模

💡 三个视图联合起来,就能确定一个立体图形的形状——"长对正、高平齐、宽相等"。

📐 点线面体的关系

几何图形的基本元素是点、线、面、体,它们之间存在运动变化的关系:

点动成线 → 线动成面 → 面动成体
点是构成图形的基本元素
线与线相交成点,面与面相交成线

💡 例如:流星划过夜空是"点动成线";雨刷器扫过挡风玻璃是"线动成面";硬币竖立旋转是"面动成体"(形成球)。

✏️ 练习巩固

💡 提示:每道题作答后会立即显示解析,请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
下列图形中,是立体图形的是?
A三角形
B
C
D长方形
第 2 题 ★☆☆ 基础
正方体有几个面?
A4 个
B5 个
C6 个
D8 个
第 3 题 ★★☆ 巩固
圆柱的展开图由 ______ 个圆和 1 个长方形组成。
第 4 题 ★★☆ 巩固
从正面看一个圆柱,看到的是 ______ 形。
第 5 题 ★★★ 拓展
下列能折叠成正方体的是?
A"田"字形 4 个正方形
B"十"字形 6 个正方形
C3 个正方形排成一行
D5 个正方形

🧠 知识点问答

老师来考考你!下面的问题都来自本节课的知识点,看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦!
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课程完成!

恭喜你完成了「几何图形」的学习!

📌 本节核心要点回顾:
① 立体图形:棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球,各部分不都在同一平面内
② 平面图形:线段、角、三角形、长方形、圆,各部分都在同一平面内
③ 三视图:主视图(正面)、左视图(左面)、俯视图(上面)
④ 展开图:正方体=6个正方形;圆柱=2个圆+1个长方形;圆锥=1个扇形+1个圆
⑤ 正方体展开图共 11 种基本形式

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