第六章 · 第三节

角

角的度量、角的比较与运算

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解角的概念，掌握角的表示方法
  • 掌握角的度量与度分秒的换算
  • 掌握角的比较、角平分线、互余互补的概念与运算
角的定义
📐 角的定义
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
角的表示
📐 角的表示方法
角可以用以下方法表示：
  • 用三个大写字母：∠AOB（O为顶点，A、B为边上的点）
  • 用顶点字母：∠O（当以O为顶点的角只有一个时）
  • 用数字：∠1、∠2
  • 用希腊字母：∠α、∠β
角的度量
📐 角的度量单位
角的度量单位是度（°）、分（'）、秒（"）。
1周角 = 360°　　1平角 = 180°
1° = 60'　　1' = 60"
角的分类
📐
锐角
0° < α < 90°
📏
直角
α = 90°
📐
钝角
90° < α < 180°
📏
平角
α = 180°
🔄
周角
α = 360°
角平分线
📐 角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = ½∠AOB
互为余角
📐 余角的定义
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角。
∠1 + ∠2 = 90°
例如：30°和60°互为余角
互为补角
📐 补角的定义
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。
∠1 + ∠2 = 180°
例如：50°和130°互为补角
💡 重要性质
等角的余角相等，等角的补角相等。
  • 如果∠1 = ∠2，那么∠1的余角 = ∠2的余角
  • 如果∠1 = ∠2，那么∠1的补角 = ∠2的补角

🎬 动画讲解：角

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1 度分秒的加法运算
计算：23°36' + 45°24'
🔍 解题过程
1 度和分分别相加： 23° + 45° = 68°， 36' + 24' = 60'。 所以 23°36' + 45°24' = 68°60'。
2 满60进位： 因为 1° = 60'，所以 60' = 1°。 将 60' 转化为 1°，向度位进1： 68° + 1° = 69°。
3 得出结果： 68°60' = 69°00' = 69°。
✅ 23°36' + 45°24' = 69°
例题 2 求余角和补角
已知 ∠α = 35°，求∠α的余角和补角。
🔍 解题过程
1 求余角： 互为余角的两个角的和等于90°，所以 ∠α的余角 = 90° - 35° = 55°。
2 求补角： 互为补角的两个角的和等于180°，所以 ∠α的补角 = 180° - 35° = 145°。
3 得出结果： ∠α的余角 = 55°， ∠α的补角 = 145°。 验证：55° + 35° = 90° ✓，145° + 35° = 180° ✓
✅ 余角 = 55°，补角 = 145°
例题 3 角平分线的应用
OC是∠AOB的平分线，∠AOB = 80°，求∠AOC的度数。
🔍 解题过程
1 分析条件： OC是∠AOB的角平分线，所以 ∠AOC = ∠BOC， 即OC把∠AOB分成两个相等的角。
2 代入公式： ∠AOC = ∠AOB ÷ 2 = 80° ÷ 2。
3 得出结果： ∠AOC = 40°。 验证：∠AOC + ∠BOC = 40° + 40° = 80° = ∠AOB ✓
✅ ∠AOC = 40°

🚀 拓展提升

🕐 角度制的六十进制

角度制采用六十进制，即度、分、秒之间的换算关系为：

1° = 60' = 3600"
1' = 60"

换算方法：

  • 大单位化小单位：乘以进率（如 2° = 2×60' = 120'）
  • 小单位化大单位：除以进率（如 90' = 90÷60 = 1.5°）
  • 运算时：度加度、分加分、秒加秒；满60进1，不够借1当60

💡 例如：把 25.5° 化为度分秒 → 25.5° = 25° + 0.5×60' = 25°30'

🧭 方位角与方向角

在生活和实际应用中，常用方位角和方向角来表示方向：

正北方向为基准，顺时针方向旋转
北偏东30° = 从正北向东偏30°
南偏西45° = 从正南向西偏45°

特殊方向：正北（0°）、正东（90°）、正南（180°）、正西（270°）

北偏东 北偏西 南偏东 南偏西 航海导航

💡 方位角在航海、航空、地理测量中有广泛应用。

📐 互余互补的性质

互余互补是角的重要关系，它们有以下重要性质：

同角（等角）的余角相等
同角（等角）的补角相等
  • 若∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，则∠2 = ∠3
  • 若∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠3 = 180°，则∠2 = ∠3
  • 互余、互补的两个角不一定相邻，只需满足度数关系即可
  • 一个角的补角比它的余角大 90°

💡 记忆技巧：补角 - 余角 = 180° - 90° = 90°，即同一个角的补角总比余角大90°。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
下列各角中，是锐角的是？
A90°
B120°
C45°
D180°
第 2 题 ★☆☆ 基础
∠α = 30° 的补角是？
A60°
B90°
C120°
D150°
第 3 题 ★★☆ 巩固
∠1 = 25°30'，则∠1的余角 = ______。（请输入度分形式，如：64°30'）
第 4 题 ★★☆ 巩固
OC平分∠AOB，∠AOB = 100°，则∠AOC = ______°
第 5 题 ★★★ 拓展
一个角是它补角的一半，这个角是？
A45°
B60°
C90°
D120°

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

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📌 本节核心要点回顾：
① 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点是顶点，射线是边
② 角的度量：1°=60'，1'=60"；1周角=360°，1平角=180°
③ 角的分类：锐角（0°＜α＜90°）、直角（α=90°）、钝角（90°＜α＜180°）、平角（α=180°）、周角（α=360°）
④ 角平分线：把角分成两个相等的角，∠AOC = ∠AOB ÷ 2
⑤ 互余：两角和为90°；互补：两角和为180°
⑥ 等角的余角相等，等角的补角相等

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