19.2 一次函数 - 动画互动课程

第十九章 · 第二节

一次函数

探索一次函数的概念、图象与性质，掌握待定系数法

📖 知识点学习

🎯 学习目标

理解正比例函数和一次函数的概念，能区分两者
掌握一次函数的图象是一条直线，会画一次函数的图象
理解一次函数的性质（k和b的作用），能用待定系数法求解析式
了解一次函数与一元一次方程、不等式之间的关系

知识点一：正比例函数

📐 定义

形如 y = kx（k 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。

💡 要点

正比例函数是特殊的一次函数。它的图象是一条经过原点的直线。例如 y = 2x、y = -3x 都是正比例函数。

知识点二：一次函数的概念

📐 定义

形如 y = kx + b（k、b 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。当 b = 0 时，一次函数 y = kx + b 就成为正比例函数 y = kx，所以正比例函数是特殊的一次函数。

💡 关键条件

判断一个函数是否为一次函数，必须满足：
① 可以化为 y = kx + b 的形式；
② k ≠ 0（x 的指数必须是 1，且系数不为 0）。
例如：y = 2x + 1 ✓，y = 5x ✓，y = 3（k=0，不是一次函数）✗，y = x² + 1（x的指数是2，不是一次函数）✗

知识点三：一次函数的图象

形状：一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线，称为直线 y = kx + b。
画法：两点确定一条直线。通常取与坐标轴的交点：(0, b)（与 y 轴交点）和 (-b/k, 0)（与 x 轴交点）。
正比例函数 y = kx 的图象是过原点 (0,0) 的直线，通常取 (0,0) 和 (1, k) 两点画图。
平移关系：直线 y = kx + b 可以由直线 y = kx 向上（b > 0）或向下（b < 0）平移 |b| 个单位长度得到。

知识点四：一次函数的性质

条件	k 的符号	增减性	图象走向
k > 0	正	y 随 x 的增大而增大	直线从左向右上升
k < 0	负	y 随 x 的增大而减小	直线从左向右下降

b 的作用：b 是直线与 y 轴交点的纵坐标（即 y 轴截距）。b > 0 时交点在 y 轴正半轴；b < 0 时在 y 轴负半轴；b = 0 时过原点。
k 的作用：k 决定直线的倾斜方向和程度。|k| 越大，直线越陡；|k| 越小，直线越缓。

知识点五：待定系数法

📐 方法

先设出函数解析式 y = kx + b（其中 k、b 是未知系数），再根据已知条件列出关于 k、b 的方程（组），通过解方程（组）求出 k、b 的值，从而确定函数解析式的方法，叫做待定系数法。

💡 步骤

① 设一次函数解析式为 y = kx + b；
② 将已知点坐标代入，得到关于 k、b 的方程（组）；
③ 解方程（组）求出 k 和 b；
④ 写出函数解析式。

知识点六：一次函数与方程、不等式的关系

与方程：一元一次方程 kx + b = 0 的解，就是一次函数 y = kx + b 中 y = 0 时对应的 x 值，即直线与 x 轴交点的横坐标。
与不等式：一元一次不等式 kx + b > 0（或 < 0）的解集，就是直线 y = kx + b 在 x 轴上方（或下方）对应的 x 取值范围。

🎬 动画讲解

📢

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 判断哪些是一次函数

下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）y = 3x - 1　（2）y = 2/x　（3）y = -5x　（4）y = x² + 2　（5）y = 8

🔍 解题过程

1 分析（1）y = 3x - 1：可以写成 y = kx + b 的形式，其中 k = 3 ≠ 0，b = -1，x 的指数为 1，所以是一次函数。

2 分析（2）（4）（5）：（2）y = 2/x 中 x 在分母上，x 的指数为 -1，不是一次函数；（4）y = x² + 2 中 x 的指数为 2，不是一次函数；（5）y = 8 中不含 x（即 k = 0），不是一次函数。

3 分析（3）y = -5x：可以写成 y = kx + b 的形式，k = -5 ≠ 0，b = 0，所以是一次函数。又因为 b = 0，所以它同时也是正比例函数。

✅ 一次函数：（1）y = 3x - 1、（3）y = -5x；其中正比例函数：（3）y = -5x

例题 2 已知两点求一次函数解析式（待定系数法）

已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点 (1, 3) 和点 (2, 5)，求这个一次函数的解析式。

过点 (1, 3) 和 (2, 5) → 求 y = kx + b

🔍 解题过程

1 设解析式并代入：设 y = kx + b。将 (1, 3) 代入得 k + b = 3 ①；将 (2, 5) 代入得 2k + b = 5 ②。

2 解方程组：由 ② - ① 得：(2k + b) - (k + b) = 5 - 3，即 k = 2。将 k = 2 代入 ① 得：2 + b = 3，b = 1。

3 写出解析式：将 k = 2、b = 1 代入 y = kx + b，得 y = 2x + 1。验证：x=1 时 y=3 ✓，x=2 时 y=5 ✓。

✅ 一次函数的解析式为 y = 2x + 1

例题 3 根据图象判断 k 和 b 的符号

一次函数 y = kx + b 的图象如图所示（直线从左下到右上，与 y 轴交于负半轴），判断 k 和 b 的符号。

图象上升，y 轴截距为负 → 判断 k、b 符号

🔍 解题过程

1 判断 k 的符号：图象从左向右上升，说明 y 随 x 的增大而增大，根据一次函数的性质，k > 0，所以 k > 0。

2 判断 b 的符号：直线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴，说明 b 是负数，所以 b < 0。

3 结论：k > 0 且 b < 0。此时直线经过第一、三、四象限（不经过第二象限）。判断方法总结：看升降定 k，看截距定 b。

✅ k > 0，b < 0（直线经过一、三、四象限）

🚀 拓展提升

📊 一次函数与一元一次方程的关系

一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）与一元一次方程 kx + b = 0 有着密切的联系：

方程 kx + b = 0 的解，就是函数 y = kx + b 中令 y = 0 时对应的 x 值
从图象上看，方程的解就是直线 y = kx + b 与 x 轴交点的横坐标

kx + b = 0 的解 ⇔ 直线 y = kx + b 与 x 轴交点的横坐标

例如：y = 2x - 4，令 y = 0 得 2x - 4 = 0，x = 2。即直线与 x 轴交于点 (2, 0)。

📐 一次函数与一元一次不等式的关系

一次函数 y = kx + b 与一元一次不等式 kx + b > 0（或 kx + b < 0）的关系：

kx + b > 0 的解集，就是直线 y = kx + b 在 x 轴上方部分对应的 x 取值范围
kx + b < 0 的解集，就是直线 y = kx + b 在 x 轴下方部分对应的 x 取值范围

kx + b > 0 ⇔ y > 0 ⇔ 直线在 x 轴上方

例如：y = 2x - 4，当 y > 0 时 2x - 4 > 0，x > 2。即直线在 x 轴上方对应 x > 2 的部分。

💡 一次函数图象与象限的关系

根据 k 和 b 的符号，可以判断直线经过哪些象限：

k 的符号	b 的符号	经过象限
k > 0	b > 0	一、二、三
k > 0	b < 0	一、三、四
k > 0	b = 0	一、三（过原点）
k < 0	b > 0	一、二、四
k < 0	b < 0	二、三、四
k < 0	b = 0	二、四（过原点）

记忆口诀：看升降定 k（升正降负），看截距定 b（上正下负），再根据 k、b 符号判断经过的象限。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

下列函数中，是一次函数的是？

Ay = 2/x

By = 2x + 3

Cy = x² + 1

Dy = √x

第 2 题 ★☆☆ 基础

正比例函数 y = kx 中，比例系数 k 的取值条件是？

Ak = 0

Bk > 0

Ck ≠ 0

Dk < 0

第 3 题 ★★☆ 巩固

已知一次函数 y = 2x + 1，当 x = 3 时，函数值 y = ______。

第 4 题 ★★☆ 巩固

一次函数 y = -2x + 3 的图象经过哪几个象限？

A第一、二、三象限

B第一、二、四象限

C第一、三、四象限

D第二、三、四象限

第 5 题 ★★★ 拓展

已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点 (1, 3) 和点 (2, 5)，求该函数的解析式。

Ay = x + 2

By = 2x + 1

Cy = 2x - 1

Dy = 3x

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

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课程完成！

恭喜你完成了「一次函数」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 正比例函数 y = kx（k≠0）是特殊的一次函数
② 一次函数 y = kx + b（k≠0）的图象是一条直线
③ k > 0 时 y 随 x 增大而增大，k < 0 时 y 随 x 增大而减小
④ b 是直线与 y 轴交点的纵坐标，k 决定直线的倾斜方向
⑤ 待定系数法：设 y = kx + b，代入已知点求 k、b
⑥ 一次函数与方程、不等式密切相关