📝 例题精讲
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已知 OP 平分 ∠AOB，PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E，PD = 5。求 PE 的长度。
🔍 解题过程
1
分析条件：
OP 平分 ∠AOB（P 在角平分线上）
PD ⊥ OA 于 D（PD 是 P 到 OA 的距离）
PE ⊥ OB 于 E（PE 是 P 到 OB 的距离）
2
应用定理：根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
即 PD = PE
3
求解：因为 PD = 5，所以 PE = PD = 5
✅ PE = 5（角平分线上的点到角两边的距离相等）
已知：PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E，PD = PE。求证：点 P 在 ∠AOB 的平分线上。
🔍 解题过程
1
分析思路：要证 P 在 ∠AOB 的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证 P 到 OA、OB 的距离相等。已知 PD = PE 且 PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，条件已满足。
也可以通过全等三角形来证明 ∠AOP = ∠BOP。
2
全等证明：
∵ PD ⊥ OA，PE ⊥ OB
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直定义）
在 Rt▵OPD 和 Rt▵OPE 中：
∵ OP = OP（公共边），PD = PE（已知）
∴ Rt▵OPD ≌ Rt▵OPE（HL）
3
得出结论：
∴ ∠AOP = ∠BOP（对应角相等）
∴ OP 平分 ∠AOB（角平分线定义）
∴ 点 P 在 ∠AOB 的平分线上
✅ 由 Rt△OPD ≌ Rt△OPE（HL）得 ∠AOP=∠BOP，故 P 在角平分线上
已知：P 在 ∠AOB 的平分线上，PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E。求证：OD = OE。
🔍 解题过程
1
分析思路：要证 OD = OE，只需证 OD 和 OE 所在的两个三角形全等，即 ▵OPD ≌ ▵OPE。
2
寻找条件：
PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ⇒ ∠PDO = ∠PEO = 90°
P 在角平分线上 ⇒ PD = PE（角平分线性质定理）
OP = OP（公共边）
3
书写证明：
∵ PD ⊥ OA，PE ⊥ OB
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°
∵ P 在 ∠AOB 的平分线上
∴ PD = PE（角平分线性质）
在 Rt▵OPD 和 Rt▵OPE 中：
∵ OP = OP，PD = PE
∴ Rt▵OPD ≌ Rt▵OPE（HL）
∴ OD = OE（对应边相等）
✅ 由 Rt△OPD ≌ Rt△OPE（HL）得 OD = OE（对应边相等）
✏️ 练习巩固
💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
角平分线的性质定理是？
A角平分线把角分成两个相等的角
B角平分线上的点到角的两边的距离相等
C角平分线上的点到角顶点的距离相等
D角平分线垂直于角的两边
下列说法正确的是？
A到角顶点距离相等的点在角平分线上
B角平分线上的点到角两边的距离不一定相等
C角平分线垂直于角的两边
D到角的两边距离相等的点在角的平分线上
🧠 知识点问答
老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！