26.1 反比例函数 - 动画互动课程

第二十六章 · 第一节

反比例函数

理解定义、掌握图象与性质、探索 k 的几何意义

📖 知识点学习

🎯 学习目标

理解反比例函数的概念，能正确判断一个函数是否为反比例函数
掌握反比例函数的解析式 y = k/x（k ≠ 0），会用待定系数法求解析式
掌握反比例函数的图象是双曲线，能正确画出图象
理解反比例函数的性质（增减性、所在象限），能根据 k 值判断图象位置
理解比例系数 k 的几何意义，能用面积关系解决相关问题

知识点一：反比例函数的定义

📐 定义

一般地，形如 y = k/x（k 是常数，且 k ≠ 0）的函数，叫做反比例函数（inverse proportional function）。其中 x 是自变量，y 是因变量，k 叫做比例系数。

y = k/x (k ≠ 0)

反比例函数的三种等价形式：y = k/x、xy = k、y = kx⁻¹

✅

k 是常数，且 k ≠ 0

✅

自变量 x 在分母上，x ≠ 0

✅

y 的次数为 1，x 的次数为 -1

💡 易错提示

自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数
k ≠ 0 是关键条件，若 k = 0 则 y = 0，不是反比例函数
y = 1/(2x) 是反比例函数，可化为 y = (1/2)/x，k = 1/2
y = x/2 不是反比例函数，它是正比例函数（y 随 x 增大而增大）

知识点二：反比例函数的图象

📐 双曲线

反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）的图象由两支曲线组成，叫做双曲线。

k 的符号	图象所在象限	与坐标轴的关系	对称性
k > 0	第一、三象限	不与坐标轴相交	关于原点对称
k < 0	第二、四象限	不与坐标轴相交	关于原点对称

💡 画图象的步骤

列表：取自变量 x 的一些值（正数和负数），计算对应的 y 值
描点：在坐标系中描出这些对应点
连线：用平滑的曲线按自变量由小到大的顺序连接各点

注意：连线时不能用直线段连接，要用平滑的曲线；两支曲线是断开的，不能连在一起。

知识点三：反比例函数的性质

k 的符号	图象位置	增减性（在每个象限内）	图象趋势
k > 0	第一、三象限	y 随 x 的增大而减小	无限接近坐标轴但不相交
k < 0	第二、四象限	y 随 x 的增大而增大	无限接近坐标轴但不相交

💡 重要提醒

增减性必须强调"在每个象限内"，因为两支曲线分别在两个象限，不能跨象限比较
例如 y = 6/x（k > 0），在第一象限内 y 随 x 增大而减小，在第三象限内也是
但第一象限的点（如 x=1, y=6）与第三象限的点（如 x=-1, y=-6）之间不能直接比较增减性
图象关于原点对称：若点 (a, b) 在图象上，则点 (-a, -b) 也在图象上

知识点四：比例系数 k 的几何意义

📐 k 的几何意义

在反比例函数 y = k/x 的图象上任取一点 P，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积恒为 |k|，与点 P 的位置无关。

S_矩形 = |x_P| × |y_P| = |k|

S_三角形 = |k| / 2（点 P 与原点 O 及一个垂足构成的直角三角形）

💡 几何意义的应用

无论点 P 在双曲线的哪一支上，矩形的面积都等于 |k|
直角三角形 OPA 的面积等于 |k|/2（A 为垂足）
这是反比例函数的一个重要性质，常用于求 k 的值或判断点是否在图象上

🎬 动画讲解

📢

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 判断反比例函数并求 k 值

下列函数中，哪些是反比例函数？是反比例函数的请指出 k 的值。

（1）y = 5/x （2）y = x/5 （3）y = 1/(3x) （4）xy = -4

🔍 解题过程

1 逐一判断：反比例函数必须能化为 y = k/x（k ≠ 0）的形式。逐一检验每个函数。

2 （1）y = 5/x：已经是 y = k/x 的形式，是反比例函数，k = 5。
（2）y = x/5：可化为 y = (1/5)x，这是正比例函数（y = kx 形式），不是反比例函数。

3 （3）y = 1/(3x)：可化为 y = (1/3) · (1/x) = (1/3)/x，是反比例函数，k = 1/3。
（4）xy = -4：可化为 y = -4/x，是反比例函数，k = -4。

✅ （1）是，k = 5；（2）不是（正比例函数）；（3）是，k = 1/3；（4）是，k = -4

例题 2 用待定系数法求反比例函数解析式

已知反比例函数 y = k/x 的图象经过点 (2, -3)，求这个反比例函数的解析式。

🔍 解题过程

1 设解析式：因为 y 是 x 的反比例函数，设 y = k/x（k ≠ 0）。

2 代入求 k：图象经过点 (2, -3)，即当 x = 2 时 y = -3，代入得：
-3 = k/2，解得 k = -6。

3 写出解析式：将 k = -6 代入，得反比例函数解析式为 y = -6/x。
验证：k = -6 < 0，图象应在第二、四象限。点 (2, -3) 在第四象限，符合。

✅ 反比例函数的解析式为 y = -6/x

例题 3 由图象位置和经过的点求解析式

已知反比例函数 y = k/x 的图象在第二、四象限，且经过点 (-2, 3)，求 k 的值并写出解析式。

🔍 解题过程

1 由图象位置判断 k 的符号：图象在第二、四象限，说明 k < 0。

2 代入点求 k：图象经过点 (-2, 3)，代入 y = k/x 得：
3 = k/(-2)，解得 k = -6。

3 验证并写出解析式：k = -6 < 0，与图象在第二、四象限一致 ✓。
解析式为 y = -6/x。
验证点 (-2, 3)：y = -6/(-2) = 3 ✓，在第二象限，符合题意。

✅ k = -6，解析式为 y = -6/x

🚀 拓展提升

🔗 反比例函数与正比例函数的交点问题

反比例函数 y = k₁/x 与正比例函数 y = k₂x（k₁ ≠ 0，k₂ ≠ 0）的图象交点有什么规律？

联立方程：k₂x = k₁/x，即 k₂x² = k₁，x² = k₁/k₂

当 k₁ 和 k₂ 同号时（k₁k₂ > 0），x² = k₁/k₂ > 0，方程有两个实数解 x = ±√(k₁/k₂)
此时两函数图象有两个交点，且这两个交点关于原点对称
当 k₁ 和 k₂ 异号时（k₁k₂ < 0），x² = k₁/k₂ < 0，方程无实数解，两图象没有交点

💡 例如：y = 6/x 与 y = 2x 联立得 2x = 6/x，x² = 3，x = ±√3。交点为 (√3, 2√3) 和 (-√3, -2√3)，关于原点对称。

📊 反比例函数与正比例函数的比较

比较项	正比例函数 y = kx	反比例函数 y = k/x
解析式	y = kx (k ≠ 0)	y = k/x (k ≠ 0)
自变量取值范围	全体实数	x ≠ 0 的实数
图象形状	过原点的直线	双曲线（两支）
k > 0 时图象	第一、三象限	第一、三象限
k > 0 时增减性	y 随 x 增大而增大	每象限内 y 随 x 增大而减小
与坐标轴交点	经过原点	不与坐标轴相交

📐 用 k 的几何意义求面积

在反比例函数 y = k/x 图象上任取一点 P(a, b)，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 A，则：

S_矩形OAPB = |a| × |b| = |k|
S_△OPA = |k| / 2

无论 P 在哪一支曲线上，面积恒为 |k| 或 |k|/2
已知面积可以反求 |k|，再结合图象所在象限确定 k 的值
例如：若 △OPA 的面积为 3，则 |k|/2 = 3，|k| = 6，k = 6 或 k = -6

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是？

Ay = 3x

By = 3/x

Cy = x²/3

Dy = 3/(x+1)

第 2 题 ★☆☆ 基础

填空：已知反比例函数 y = k/x 经过点 (2, 3)，则 k = ______。

第 3 题 ★★☆ 巩固

反比例函数 y = -4/x 的图象位于哪几个象限？

A第一、三象限

B第二、四象限

C第一、二象限

D第三、四象限

第 4 题 ★★☆ 巩固

填空：反比例函数 y = 12/x 的图象上有一点 P(a, 3)，则 a = ______。

第 5 题 ★★★ 拓展

如图，点 P 在反比例函数 y = 6/x 的图象上，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 A，则 △OPA（O 为原点）的面积是？

A6

B3

C12

D1.5

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

🎉

课程完成！

恭喜你完成了「反比例函数」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 反比例函数：y = k/x（k ≠ 0），自变量 x ≠ 0
② 图象是双曲线，k > 0 在一三象限，k < 0 在二四象限
③ k > 0 时每象限内 y 随 x 增大而减小，k < 0 时增大
④ 图象关于原点对称，无限接近坐标轴但不相交
⑤ k 的几何意义：矩形面积 = |k|，三角形面积 = |k|/2

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