第二十七章 · 第二节

27.2 相似三角形

相似三角形的判定与性质

AA · SAS · SSS · 面积比等于相似比的平方

📖 知识点

🎯 学习目标

  • 理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法
  • 掌握相似三角形的判定定理：平行线法、AA、SAS、SSS
  • 掌握相似三角形的性质：对应线段之比、周长比、面积比
  • 能运用相似三角形解决测量等实际问题
💡 核心：相似三角形是相似多边形的特例，对应角相等、对应边成比例。
知识点一：相似三角形的定义与表示
📐 定义
如果两个三角形的三对对应角分别相等，且三对对应边成比例， 那么这两个三角形相似。记作 △ABC ∽ △A′B′C′，读作“△ABC 相似于 △A′B′C′”。
∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，∠C = ∠C′； AB/A′B′ = BC/B′C′ = CA/C′A′ = k
对应角相等，对应边成比例（k 为相似比）
知识点二：相似三角形的判定
① 平行线法（预备定理）
平行于三角形一边的直线截其他两边（或其延长线），所截三角形与原三角形相似。
DE ∥ BC ⇒ △ADE ∽ △ABC
② AA（两角对应相等）
两角分别相等的两个三角形相似。
∠A=∠A′，∠B=∠B′ ⇒ △ABC ∽ △A′B′C′
③ SAS（两边成比例且夹角相等）
两组边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
AB/A′B′=AC/A′C′，∠A=∠A′ ⇒ 相似
④ SSS（三边成比例）
三组边成比例的两个三角形相似。
AB/A′B′=BC/B′C′=CA/C′A′ ⇒ 相似
💡 判定技巧
  • 遇到平行线，优先考虑平行线法（预备定理）。
  • 已知角度关系，用 AA 判定最快捷（只需两组角相等）。
  • 已知边的关系，考虑 SAS 或 SSS。
知识点三：相似三角形的性质
📐 性质
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； 周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
对应线段比 = 周长比 = k　；　面积比 = k²
k 为相似比
相似比 k对应高之比周长比面积比
1 : 21 : 21 : 21 : 4
1 : 31 : 31 : 31 : 9
🔑 关键：面积比要“平方”！相似比为 k，则面积比为 k²，这是最易错点。

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📝 例题

例 1 用 AA 判定相似并求边长
如图，在 △ABC 和 △ADE 中，∠BAC = ∠DAE，∠B = ∠D，已知 AB = 6，AC = 8，AD = 9，求 AE 的长。
∠BAC = ∠DAE，∠B = ∠D； AB = 6，AC = 8，AD = 9，AE = ?
📝 解题过程
1判定相似：在 △ABC 与 △ADE 中，∠BAC = ∠DAE，∠B = ∠D，两组角对应相等。
2用 AA 定理：由 AA 判定可得 △ABC ∽ △ADE，对应边成比例。
3列比例式：对应边 AB/AD = AC/AE，即 6/9 = 8/AE。
4求解：AE = 8 × 9 / 6 = 12。
✅ 结论：AE = 12。判定依据：AA（两角对应相等）。
例 2 相似三角形面积比的计算
已知 △ABC ∽ △A′B′C′，相似比为 2 : 3，△ABC 的面积为 16，求 △A′B′C′ 的面积。
相似比 = 2 : 3； S△ABC = 16； S△A′B′C′ = ?
📝 解题过程
1回忆性质：相似三角形面积比等于相似比的平方。
2求面积比：面积比 = (2/3)² = 4/9。
3列方程：S△ABC / S△A′B′C′ = 4/9，即 16 / S△A′B′C′ = 4/9。
4求解：S△A′B′C′ = 16 × 9 / 4 = 36。
✅ 结论：S△A′B′C′ = 36。关键：面积比 = 相似比²。

🚀 拓展：相似三角形的应用

🌳 测量树高（影子法）

古希腊数学家泰勒斯曾用相似三角形测量金字塔的高度。同一时刻，物体的高度与影长成正比。

树高 / 树影长 = 杆高 / 杆影长

例如：一根 1.5 m 的标杆影长 2 m，同一时刻大树的影长 12 m，则树高 = 1.5 × 12 / 2 = 9 m。这就是利用阳光下的相似三角形。

🏞️ 测量河宽（不能直接到达）

在河的一侧构造与对岸目标构成相似三角形，通过测量可到达一侧的线段长度，按比例求出无法直接测量的河宽。

AB / A′B′ = BC / B′C′（对应边成比例）

构造方法：在对岸取目标点 P，在近岸取两点 A、B，再作相似三角形，量出对应边即可算出 P 到岸的距离。

🧠 思考

为什么“面积比 = 相似比的平方”？提示：面积 = 底 × 高 ÷ 2，相似时底和高都按相似比 k 缩放，所以面积按 k × k = k² 缩放。

✏️ 练习

第 1 题 ★☆☆ 基础
下列条件中，能判定两个三角形相似的是？
A有一组角相等
B两组边成比例，且其中一边的对角相等
C两组角分别对应相等
D面积相等
第 2 题 ★★☆ 巩固
已知两个三角形的三边长分别为 3、4、5 和 6、8、10，这两个三角形是否相似？
A相似，相似比为 1 : 2
B不相似，边长不相等
C相似，相似比为 2
D无法判断，缺少角度
第 3 题 ★★☆ 巩固
填空：两个相似三角形的相似比为 1 : 4，则它们的面积比为 ______。（写成 a : b 形式）
第 4 题 ★★☆ 巩固
两个相似三角形的相似比为 3 : 5，则它们对应高的比为？
A3 : 5
B9 : 25
C5 : 3
D3 : 8
第 5 题 ★★★ 拓展
填空：在同一时刻，身高 1.6 m 的小明影长 2 m，旁边一棵树的影长 10 m，则树高为 ______ m。

🎉 恭喜完成！

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📌 本节核心要点回顾：

① 判定：平行线法、AA、SAS、SSS

② 对应高、中线、角平分线之比 = 相似比

③ 周长比 = 相似比

④ 面积比 = 相似比的平方（最易错点）

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