第二十八章 · 第一节

28.1 锐角三角函数

探索直角三角形中边与角的奥秘

📖 知识点

  • 理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义
  • 熟记 30°、45°、60° 的三角函数值
  • 掌握锐角三角函数的增减性
    • 一、直角三角形中的边角关系
    📐 定义
    在 Rt△ABC 中，∠C = 90°。对于锐角 A：
    • 对边：∠A 所对的边 BC
    • 邻边：∠A 相邻的直角边 AC
    • 斜边：直角所对的边 AB
    锐角 A 的正弦、余弦、正切统称为∠A 的锐角三角函数。
    sin A = 对边/斜边　　cos A = 邻边/斜边　　tan A = 对边/邻边
    即 sinA = BC/AB ， cosA = AC/AB ， tanA = BC/AC
    二、特殊角的三角函数值
    锐角 Asin Acos Atan A
    30°1/2√3/2√3/3
    45°√2/2√2/21
    60°√3/21/2√3
    💡 巧记规律
    30°、45°、60° 的正弦值分母依次为 2、√2、2，分子依次为 1、√2、√3；余弦值则正好相反。正切值 30° 与 60° 互为倒数，45° 为 1。
    三、锐角三角函数的增减性
    当锐角 A 在 0°～90° 之间变化时：
    • sin A 随∠A 的增大而增大；
    • cos A 随∠A 的增大而减小；
    • tan A 随∠A 的增大而增大。

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    📝 例题

    💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
    例题 1求锐角的三角函数值
    如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，AB = 5。求 ∠A 的正弦、余弦、正切。
    ∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，AB = 5
    🔍 解题过程
    1确定三边相对于∠A的关系：∠C=90°，所以∠A的对边为 BC = 4，邻边为 AC = 3，斜边为 AB = 5。
    2代入三角函数定义：sinA = 对边/斜边 = BC/AB = 4/5；cosA = 邻边/斜边 = AC/AB = 3/5；tanA = 对边/邻边 = BC/AC = 4/3。
    3结论：三角函数值是边的比值，与三角形大小无关，只与角的大小有关。
    ✅ sinA = 4/5，cosA = 3/5，tanA = 4/3
    例题 2已知三角函数值求边长
    在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = 3/5，BC = 6，求 AB 和 AC 的长。
    ∠C = 90°，sinA = 3/5，BC = 6
    🔍 解题过程
    1用正弦求斜边 AB：sinA = 对边/斜边 = BC/AB = 3/5，故 AB = BC ÷ (3/5) = 6 × 5/3 = 10。
    2用勾股定理（或余弦）求 AC：AC = √(AB² − BC²) = √(100 − 36) = √64 = 8。（也可由 cosA = 4/5，得 AC = AB·cosA = 10×4/5 = 8）
    3检验：sinA = 6/10 = 3/5，符合题意。
    ✅ AB = 10，AC = 8
    例题 3特殊角三角函数的计算
    求式子 2sin30° + cos60° − tan45° 的值。
    sin30° = 1/2，cos60° = 1/2，tan45° = 1
    🔍 解题过程
    1代入特殊角函数值：sin30° = 1/2，cos60° = 1/2，tan45° = 1。
    2计算：原式 = 2 × (1/2) + 1/2 − 1 = 1 + 1/2 − 1 = 1/2。
    3结论：熟记特殊角的三角函数值，是进行含角计算的关键。
    ✅ 原式 = 1/2

    🚀 拓展

    🔗 互余两角的三角函数关系

    在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则 ∠A + ∠B = 90°，即 ∠A 与 ∠B 互余。由于∠A的对边恰是∠B的邻边，∠A的邻边恰是∠B的对边，可得：

    sin A = cos B　　cos A = sin B　　tan A · tan B = 1

    即：任意锐角的正弦等于它余角的余弦；任意锐角的余弦等于它余角的正弦；互余两角的正切值互为倒数。

    📐 用定义法推导特殊角

    30°：在含 30° 角的直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。设斜边为 2，对边为 1，由勾股定理得邻边 = √3，所以 sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，tan30° = 1/√3 = √3/3。

    45°：等腰直角三角形中两直角边相等。设直角边为 1，斜边 = √2，所以 sin45° = cos45° = 1/√2 = √2/2，tan45° = 1。

    🧮 同角的三角函数关系

    对于同一个锐角 A，有下列重要关系（将在高中进一步学习）：

    sin²A + cos²A = 1　　tanA = sinA / cosA

    利用这些关系，已知一个三角函数值可求出另外两个，是解决综合题的有力工具。

    ✏️ 练习

    💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
    第 1 题★☆☆ 基础
    sin30° 的值是？
    A√3/2
    B1/2
    C1
    D√2/2
    第 2 题★★☆ 巩固
    在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，三边长为 3、4、5，且 ∠A 所对的边长为 4，则 cosA = ？
    A4/5
    B3/5
    C3/4
    D4/3
    第 3 题★☆☆ 基础
    tan45° = ______。
    第 4 题★★☆ 巩固
    当锐角 A 从 30° 增大到 60° 时，下列说法正确的是？
    AsinA 逐渐减小
    BcosA 逐渐增大
    CtanA 逐渐增大
    D三个函数值都增大
    第 5 题★★☆ 巩固
    已知 cosA = √2/2（∠A 为锐角），则 ∠A = ______°。
    🎉

    恭喜完成！

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    📌 核心要点回顾：
    ① sinA = 对边/斜边，cosA = 邻边/斜边，tanA = 对边/邻边
    ② 特殊角：30°→(1/2,√3/2,√3/3)，45°→(√2/2,√2/2,1)，60°→(√3/2,1/2,√3)
    ③ 增减性：sinA、tanA 随角增大而增大，cosA 随角增大而减小

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