第二十九章 · 第一节

29.1 投影

探索光线、物体与影子之间的奥秘

📖 知识点

  • 理解投影、投影线、投影面等概念
  • 区分平行投影与中心投影
  • 掌握正投影的概念及线段、平面图形的正投影规律
  • 一、投影的定义
    📐 定义
    一般地,用光线照射物体,在某个平面(投影面)上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面
    二、平行投影与中心投影
    类型光线特征常见实例
    平行投影投影线互相平行太阳光下的影子
    中心投影投影线交于一点(光源)灯光、手电筒下的影子
    💡 区分关键
    看投影线是否相交于一点:太阳光可视为平行光线(平行投影);灯泡、手电筒等点光源发出的光线交于光源(中心投影)。
    三、正投影
    📐 定义
    投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。正投影是一种特殊的平行投影。
    四、线段的正投影规律
    • 线段平行于投影面 → 正投影与线段等长
    • 线段倾斜于投影面 → 正投影变短
    • 线段垂直于投影面 → 正投影是一个
    五、平面图形、几何体的正投影
    正方形平行于投影面时,正投影是全等的正方形;倾斜时是矩形(或线段);垂直时是线段。正方体的正投影(从一个面正对投影面时)是正方形

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    📝 例题

    💡 提示:点击「下一步」按钮,逐步查看详细解题过程
    例题 1判断投影类型
    下列现象中,哪些是平行投影?哪些是中心投影?
    ① 阳光下楼房的影子;② 手电筒照射下书本的影子;③ 探照灯光下飞机的影子;④ 路灯下行人的影子。
    🔍 解题过程
    1判断光线特征:平行投影的投影线互相平行;中心投影的投影线交于一点(光源)。
    2逐个分析:① 太阳光可视为平行光线 → 平行投影;② 手电筒、③ 探照灯、④ 路灯都是点光源,光线交于一点 → 中心投影
    3结论:区分依据是光源是否可看作点光源(光线是否交于一点)。
    ✅ 平行投影:①;中心投影:②③④
    例题 2平行投影求物高(物高与影长成比例)
    一根长 2 m 的竹竿直立在地面上,在阳光下它的影子长 2 m;此时旁边一棵树的影子长 8 m,求树高。
    同一时刻:竿高 2 m,竿影 2 m,树影 8 m
    🔍 解题过程
    1确定规律:在平行投影(太阳光)中,同一时刻所有直立物体的物高与影长成正比,即 物高₁/影长₁ = 物高₂/影长₂。
    2列式求解:设树高为 x m,则 2/2 = x/8,解得 x = 8
    3结论:同一时刻、同一地点,太阳光下物高与影长的比值相同,这是平行投影的重要性质。
    ✅ 树高 = 8 m
    例题 3线段正投影求长度
    线段 AB = 6,它与投影面成 30° 角,求线段 AB 在投影面上的正投影长。
    AB = 6,与投影面夹角 = 30°
    🔍 解题过程
    1确定规律:线段倾斜于投影面时,正投影长 = 线段长 × cos(线段与投影面的夹角)。
    2计算:投影长 = AB·cos30° = 6 × (√3/2) = 3√3
    3结论:当线段与投影面夹角为 0°(平行)时投影最长(等长),夹角为 90°(垂直)时投影为一个点(长为 0)。
    ✅ 正投影长 = 3√3

    🚀 拓展

    ☀️ 影子长度与时间的关系

    一天之中,太阳东升西落,物体在阳光下的影子方向和长度都在不断变化:

    • 早晨与傍晚:太阳高度角小,影子最长,方向分别朝西、朝东。
    • 正午:太阳高度角最大,影子最短(在北半球,正午影子朝正北)。
    • 从早到晚,影子长度先变短后变长,呈对称变化。

    古人利用这一规律发明了日晷,通过影子的方向来计时。

    🔍 中心投影中影长的变化

    在中心投影(如路灯)中,同一个物体离光源越远(在光源同侧),影子越长;越靠近光源正下方,影子越短。这与平行投影中“同一时刻物高与影长成正比”不同,是区分两种投影的重要依据。

    📐 正投影与三视图的桥梁

    正投影是下一节三视图的基础:从物体的前方、上方、左方分别进行正投影,就得到主视图、俯视图、左视图。理解正投影的规律,是画好三视图的关键。

    三视图 = 三个方向的正投影

    ✏️ 练习

    💡 提示:每道题作答后会立即显示解析,请认真思考后再作答
    第 1 题★☆☆ 基础
    太阳光下物体的投影属于?
    A中心投影
    B平行投影
    C正投影
    D都不是
    第 2 题★☆☆ 基础
    中心投影的投影线特征是?
    A互相平行
    B交于一点
    C互相垂直
    D没有规律
    第 3 题★★☆ 巩固
    当线段垂直于投影面时,线段的正投影是?
    A与原线段等长
    B一条较短的线段
    C一个点
    D一条较长的线段
    第 4 题★★☆ 巩固
    线段 AB = 10,且 AB 平行于投影面,则 AB 的正投影长为 ______。
    第 5 题★★☆ 巩固
    关于正投影,下列说法正确的是?
    A投影线可沿任意方向
    B投影线垂直于投影面
    C线段倾斜时投影变长
    D平面图形垂直投影面时投影面积不变
    🎉

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    📌 核心要点回顾:
    ① 投影:光线照射物体在投影面上得到的影子
    ② 平行投影(光线平行,如太阳光) vs 中心投影(光线交于一点,如灯光)
    ③ 正投影:投影线垂直投影面;线段∥面等长、倾斜变短、⊥面为点

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