九年级上册 · 第二十二章 二次函数

22.2 二次函数与一元二次方程

图象与 x 轴的交点 —— 数与形的桥梁

📖 知识点精讲

🎯 学习目标

  • 理解二次函数图象与 x 轴交点同方程 ax²+bx+c=0 根的关系
  • 会用判别式 Δ 判断抛物线与 x 轴交点的个数
  • 能用图象法求一元二次方程的近似根
  • 理解二次函数与一元二次不等式的关系
📌 二次函数与方程的联系
二次函数 y = ax² + bx +c 的图象与 x 轴的交点，横坐标就是一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根。令 y = 0 即得对应方程。
Δ = b² - 4ac
Δ > 0：两个交点（两不等实根）｜Δ = 0：一个交点（两相等实根）｜Δ < 0：无交点（无实根）
💡 图象法求近似根
  • 方法一：画出 y = ax² + bx + c 的图象，图象与 x 轴交点的横坐标即为方程的近似根。
  • 方法二：把方程 ax² + bx + c = 0 化为 ax² = -bx - c，转化为求抛物线 y = ax² 与直线 y = -bx - c 交点的横坐标。
  • 交点个数由 Δ 决定；近似根的精确度取决于作图的细致程度。
🔗 二次函数与不等式
  • y > 0 的解集 ⇔ 图象在 x 轴上方部分对应的 x 取值范围。
  • y < 0 的解集 ⇔ 图象在 x 轴下方部分对应的 x 取值范围。
  • a > 0 时：ax²+bx+c > 0 的解集在两根之外，< 0 在两根之间。

🎬 动画讲解：交点的三种情况与近似根

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📝 典型例题

例题 1 判断交点情况并求交点
判断抛物线 y = x² - 3x + 2 与 x 轴的交点情况，并求出交点坐标。
y = x² - 3x + 2
💡 解题过程
1计算判别式： Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4×1×2 = 9 - 8 = 1 > 0，所以抛物线与 x 轴有两个交点。
2解方程： 令 y = 0，即 x² - 3x + 2 = 0，因式分解得 (x - 1)(x - 2) = 0。
3写出交点： 解得 x₁ = 1，x₂ = 2，故交点为 (1, 0) 和 (2, 0)。
两个交点：(1, 0) 和 (2, 0)。
例题 2 图象法求近似根
利用图象法求一元二次方程 x² - x - 3 = 0 的近似根（精确到 0.1）。
💡 解题过程
1画图象： 画出函数 y = x² - x - 3 的图象。Δ = 1 + 12 = 13 > 0，图象与 x 轴有两个交点。
2定位交点范围： 计算若干值：x = -2 时 y = 3 > 0，x = -1 时 y = -1 < 0，故一根在 (-2, -1) 之间； x = 2 时 y = -1 < 0，x = 3 时 y = 3 > 0，故另一根在 (2, 3) 之间。
3估算近似值： 缩小范围得 x₁ ≈ -1.3，x₂ ≈ 2.3。精确根为 (1±√13)/2 ≈ -1.303、2.303，与估算吻合。
x₁ ≈ -1.3，x₂ ≈ 2.3。
例题 3 已知交点个数求参数
已知抛物线 y = x² + mx + 1 与 x 轴只有一个交点，求 m 的值。
💡 解题过程
1转化条件： 抛物线与 x 轴只有一个交点 ⇔ 方程 x² + mx + 1 = 0 有两个相等的实数根 ⇔ Δ = 0。
2列方程： Δ = m² - 4×1×1 = m² - 4 = 0，解得 m² = 4。
3求解： 所以 m = 2 或 m = -2。此时顶点恰在 x 轴上。
m = 2 或 m = -2。

🚀 知识拓展

⚖ 二次函数与一元二次不等式

利用二次函数图象可以直观求解不等式 ax² + bx + c > 0（或 < 0）：

a > 0 时：ax²+bx+c > 0 解集为 x < x₁ 或 x > x₂；< 0 解集为 x₁ < x < x₂

其中 x₁、x₂ 是方程两根（x₁ < x₂）。当 Δ ≤ 0 时需结合图象具体分析：Δ = 0 时 > 0 的解集为 x ≠ x₁ 全体实数；Δ < 0 时 > 0 解集为全体实数。

🧠 数形结合思想

二次函数把“数”与“形”紧密结合：方程的根对应图象与 x 轴的交点，不等式的解集对应图象在 x 轴上方或下方的部分。遇到方程、不等式问题时，画图象往往能快速判断解的情况。

方程根 ⇄ 图象交点 ｜ 不等式解集 ⇄ 图象上下位置

📐 与直线交点问题

求抛物线 y = ax²+bx+c 与直线 y = kx + n 的交点，联立两式得 ax²+(b-k)x+(c-n) = 0，该方程的实数解个数即为交点个数，仍由 Δ 判定。

✏️ 课堂练习

第 1 题★☆☆ 基础
抛物线 y = x² - 4x + 4 与 x 轴交点的个数是（　）
A0 个
B1 个
C2 个
D无法确定
第 2 题★☆☆ 基础
二次函数 y = x² + 2x + 3 与 x 轴的交点情况是（　）
A有两个交点
B有一个交点
C没有交点
D无法确定
第 3 题★★☆ 中等
抛物线 y = x² + 6x + 9 与 x 轴交点的横坐标是 ____。
第 4 题★★☆ 中等
不等式 x² - 3x + 2 < 0 的解集是（　）
Ax < 1 或 x > 2
B1 < x < 2
Cx < 2
Dx > 1
第 5 题★★☆ 中等
已知抛物线 y = x² - 2x + m 与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是 ____。（填不等式，如 m<1）

🧠 知识点问答

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第 2 节课程完成！

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