19.3 课题学习：选择方案

第十九章 · 第三节

课题学习：选择方案

利用一次函数进行方案选择，找出临界点，确定最优方案

📖 知识点学习

🎯 学习目标

能根据实际问题建立一次函数模型，写出两种方案的函数解析式
掌握通过比较两个一次函数图象找出"临界点"的方法
能根据实际需求（自变量的取值）选择最优方案
体会数学建模思想，感受一次函数在实际决策中的应用

知识点一：利用一次函数进行方案选择

📐 核心思想

在实际问题中，经常需要从两种或多种方案中选择最优方案。如果每种方案的费用（或效益）与某个变量之间是一次函数关系，我们就可以利用一次函数来进行比较和选择。

💡 基本方法

① 分别写出每种方案的函数解析式（费用或效益关于某个变量的函数）；
② 在同一坐标系中画出两个函数的图象；
③ 比较两个函数值的大小，找出临界点；
④ 根据临界点，分情况讨论哪种方案更优。

知识点二：找出"临界点"

📐 定义

两种方案的函数值相等时，对应的自变量的取值叫做临界点（也叫分界点）。在临界点处，两种方案的费用（或效益）相同。

💡 求法

设方案 A 的解析式为 y₁ = k₁x + b₁，方案 B 的解析式为 y₂ = k₂x + b₂。
令 y₁ = y₂，即 k₁x + b₁ = k₂x + b₂，解这个方程求出 x 的值，就是临界点。
从图象上看，临界点就是两条直线的交点的横坐标。

知识点三：根据实际需求选择最优方案

求出临界点后，以临界点为界将自变量的取值分为两个区间。
在每个区间内，取一个特殊值代入比较，确定哪个方案更优。
一般规律：在交点左侧，在上方的直线对应的方案费用更高（或效益更好）；在交点右侧则相反。
如果要求费用最低，则选择直线下方的方案；如果要求效益最高，则选择直线上方的方案。

典型问题模型

问题类型	方案A	方案B	选择依据
上网收费	按量计费 y=k₁x	月租+按量 y=k₂x+b₂	使用时间
购物优惠	打折 y=k₁x	满减 y=x-b	消费金额
运输方案	按量 y=k₁x	固定+按量 y=k₂x+b₂	运输量
水费/电费	单价×量 y=k₁x	底费+单价×量 y=k₂x+b₂	用水/电量

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📝 例题精讲

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例题 1 比较两种购物方案的优惠

某商店举行促销活动，有两种方案可选：
方案 A：所有商品打 8 折；
方案 B：购物满 200 元减 50 元（不满 200 元不减）。
问：购物金额 x 为多少时，两种方案一样优惠？如何选择？

方案A：y₁ = 0.8x　方案B：y₂ = x - 50（x ≥ 200）

🔍 解题过程

1 建立函数模型：设购物金额为 x 元。方案 A 实付 y₁ = 0.8x；方案 B 实付 y₂ = x - 50（当 x ≥ 200 时）。

2 求临界点：令 y₁ = y₂，即 0.8x = x - 50，解得 0.2x = 50，x = 250。即当购物金额为 250 元时，两种方案实付金额相同（均为 200 元）。

3 分情况选择：当 200 ≤ x < 250 时，方案 B 更优惠；当 x > 250 时，方案 A 更优惠。取 x=225 验证：y₁=0.8×225=180，y₂=225-50=175，y₂ < y₁，方案 B 更优。取 x=300 验证：y₁=240，y₂=250，y₁ < y₂，方案 A 更优。
结论：当 x = 250 时两方案相同；当 200 ≤ x < 250 时选方案 B；当 x > 250 时选方案 A。

✅ 临界点 x = 250 元；200 ≤ x < 250 选方案 B，x > 250 选方案 A，x = 250 两方案相同

例题 2 选择运输方案使费用最低

某工厂需运输 x 吨货物，有两种运输方案：
方案 A：每吨运费 50 元；
方案 B：固定费用 300 元 + 每吨 30 元。
问：运输多少吨货物时两种方案费用相同？如何选择最省钱的方案？

方案A：y₁ = 50x　方案B：y₂ = 300 + 30x

🔍 解题过程

1 建立函数模型：方案 A 运费 y₁ = 50x；方案 B 运费 y₂ = 300 + 30x。

2 求临界点：令 y₁ = y₂，即 50x = 300 + 30x，解得 20x = 300，x = 15（吨）。即运输 15 吨时两种方案费用相同（均为 750 元）。

3 分情况选择：取 x=10 验证：y₁=500，y₂=600，y₁ < y₂，方案 A 更省。取 x=20 验证：y₁=1000，y₂=900，y₂ < y₁，方案 B 更省。
结论：当 x < 15 吨时选方案 A；当 x > 15 吨时选方案 B；当 x = 15 吨时两方案相同。

✅ 临界点 x = 15 吨；x < 15 选方案 A，x > 15 选方案 B，x = 15 两方案相同

例题 3 水费方案选择

某市自来水公司推出两种水费方案（按月计费）：
方案 A：每吨水 2 元；
方案 B：每月固定 10 元 + 每吨水 1.5 元。
问：月用水量为多少吨时两种方案费用相同？某家庭月用水 25 吨，选哪种方案更划算？

方案A：y₁ = 2x　方案B：y₂ = 10 + 1.5x

🔍 解题过程

1 建立函数模型：方案 A 水费 y₁ = 2x；方案 B 水费 y₂ = 10 + 1.5x。

2 求临界点：令 y₁ = y₂，即 2x = 10 + 1.5x，解得 0.5x = 10，x = 20（吨）。即月用水 20 吨时两种方案费用相同（均为 40 元）。

3 选择最优方案：月用水 25 吨 > 20 吨，应选方案 B。验证：y₁ = 2×25 = 50 元，y₂ = 10 + 1.5×25 = 10 + 37.5 = 47.5 元。y₂ < y₁，方案 B 更省钱（省 2.5 元）。
结论：x = 20 吨时两方案相同；x < 20 选方案 A，x > 20 选方案 B。月用水 25 吨应选方案 B。

✅ 临界点 x = 20 吨；月用水 25 吨选方案 B（47.5 元 < 50 元）

🚀 拓展提升

📋 方案选择的一般步骤

利用一次函数进行方案选择，一般遵循以下步骤：

① 建立模型

→

② 画图比较

→

③ 求临界点

→

④ 分情况讨论

→

⑤ 做出决策

建立模型：分析实际问题，分别写出每种方案的函数解析式
画图比较：在同一坐标系中画出两个函数的图象，直观比较
求临界点：令两个函数值相等，解方程求出临界点（即两条直线交点的横坐标）
分情况讨论：以临界点为界，分两个区间讨论哪种方案更优
做出决策：根据实际需求（自变量的具体值），选择最优方案

🧮 数学建模思想

方案选择问题体现了数学建模的核心思想：

实际问题 → 抽象为数学问题（用函数描述方案的费用或效益）
数学求解 → 解方程求临界点，比较函数值大小
回到实际 → 将数学结论转化为实际决策建议

实际问题 → 数学模型 → 求解 → 实际决策

这种"从实际中来，到实际中去"的思维方式，是数学应用的核心，也是解决实际问题的重要工具。

💡 图象法与代数法的比较

方案选择可以用两种方法来解决：

方法	做法	优点	缺点
图象法	画两条直线，看交点及上下关系	直观、形象	不够精确
代数法	令 y₁=y₂ 解方程，再取值比较	精确、严密	不够直观

实际解题中，通常将两种方法结合使用：用代数法求出精确的临界点，用图象法辅助理解和验证。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

利用一次函数进行方案选择时，找"临界点"的方法是？

A随机猜测哪种方案好

B只看图象，不需要计算

C令两种方案的函数值相等，解方程

D直接选费用低的方案

第 2 题 ★☆☆ 基础

上网收费方案A：y = 0.1x（x为分钟数）；方案B：y = 50 + 0.05x。当上网时间 x = ______ 分钟时，两种方案费用相同。

第 3 题 ★★☆ 巩固

接上题（方案A：y=0.1x；方案B：y=50+0.05x），当上网时间 x = 500 分钟时，哪种方案更优？

A方案 A（费用 50 元）

B方案 B（费用 75 元）

C两种方案费用相同

D无法确定

第 4 题 ★★☆ 巩固

接上题（方案A：y=0.1x；方案B：y=50+0.05x），当上网时间 x = 1200 分钟时，哪种方案更优？

A方案 A（费用 120 元）

B方案 B（费用 110 元）

C两种方案费用相同

D无法确定

第 5 题 ★★★ 拓展

某商店两种促销方案：方案A打8折（y₁=0.8x）；方案B满200减50（y₂=x-50，x≥200）。当购物金额 x = ______ 元时，两种方案实付金额相同。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

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课程完成！

恭喜你完成了「课题学习：选择方案」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 建立模型：分别写出每种方案的函数解析式
② 求临界点：令 y₁ = y₂，解方程求出两条直线交点的横坐标
③ 分情况讨论：以临界点为界，比较两方案优劣
④ 费用最低选下方直线，效益最高选上方直线
⑤ 数学建模：实际问题 → 数学模型 → 求解 → 实际决策
⑥ 图象法与代数法结合使用效果最佳

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