20.2 数据的波动程度 - 动画互动课程

第二十章 · 第二节

数据的波动程度

理解方差的概念，用方差衡量数据的稳定性

📖 知识点学习

🎯 学习目标

理解方差的概念，掌握方差的计算公式
理解方差的意义，能用方差判断数据的波动大小
能用方差比较两组数据的稳定性，解决实际问题

知识点一：方差的概念

📐 定义

设有 n 个数据 x₁, x₂, ..., xₙ，各数据与它们的平均数 x̄ 的差的平方分别是 (x₁-x̄)², (x₂-x̄)², ..., (xₙ-x̄)²。我们用这些差的平方的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。

知识点二：方差的计算公式

s² = 1/n [(x₁-x̄)² + (x₂-x̄)² + ... + (xₙ-x̄)²]

其中 x̄ 是平均数，n 是数据个数，s² 读作「s方」

💡 计算步骤

① 先求平均数 x̄ → ② 计算各数据与平均数的差（偏差）→ ③ 将各偏差平方 → ④ 求偏差平方的平均数（即求和后除以 n）

知识点三：方差的意义

方差越大，数据的波动越大，说明数据越不稳定（偏离平均数越远）。
方差越小，数据的波动越小，说明数据越稳定（集中在平均数附近）。
方差为 0 时，表示所有数据都相同（等于平均数），没有波动。

知识点四：用方差比较两组数据的稳定性

💡 比较方法

当两组数据的平均数相同或相近时，可以比较它们的方差：方差较小的那组数据更稳定。这在选拔运动员、比较产品质量等实际问题中非常有用。

🎬 动画讲解

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 计算一组数据的方差

求下列数据的方差：

2, 4, 4, 4, 6

🔍 解题过程

1 求平均数：x̄ = (2+4+4+4+6) / 5 = 20 / 5 = 4。

2 计算偏差平方：各数据与平均数的偏差平方为：(2-4)²=4，(4-4)²=0，(4-4)²=0，(4-4)²=0，(6-4)²=4。

3 求方差：s² = (4+0+0+0+4) / 5 = 8 / 5 = 1.6。方差为1.6，说明数据波动不大，集中在平均数4附近。

✅ 方差 s² = 1.6

例题 2 比较两组数据的方差判断稳定性

甲、乙两台机床各生产5个零件，测得直径（mm）如下。哪台机床的生产更稳定？

甲：8, 9, 10, 9, 9　　乙：7, 10, 10, 8, 10

🔍 解题过程

1 求两组数据的平均数：甲的平均数 = (8+9+10+9+9)/5 = 45/5 = 9；乙的平均数 = (7+10+10+8+10)/5 = 45/5 = 9。平均数相同。

2 计算方差：甲的偏差平方：(8-9)²+(9-9)²+(10-9)²+(9-9)²+(9-9)² = 1+0+1+0+0 = 2，s²_甲 = 2/5 = 0.4；乙的偏差平方：(7-9)²+(10-9)²+(10-9)²+(8-9)²+(10-9)² = 4+1+1+1+1 = 8，s²_乙 = 8/5 = 1.6。

3 比较判断：因为 s²_甲 = 0.4 < s²_乙 = 1.6，甲的方差更小，说明甲生产的零件直径波动更小，甲机床更稳定。

✅ s²甲 = 0.4，s²乙 = 1.6；甲机床更稳定

例题 3 实际应用：选择更稳定的选手

两名射击运动员各进行5次射击，成绩（环）如下。教练要从中选一人参加比赛，应选谁？

A：8, 8, 9, 7, 8　　B：10, 6, 9, 7, 8

🔍 解题过程

1 求平均成绩：A的平均数 = (8+8+9+7+8)/5 = 40/5 = 8环；B的平均数 = (10+6+9+7+8)/5 = 40/5 = 8环。平均成绩相同。

2 计算方差：A的偏差平方：(0+0+1+1+0) = 2，s²_A = 2/5 = 0.4；B的偏差平方：(4+4+1+1+0) = 10，s²_B = 10/5 = 2.0。

3 分析结论：两人平均成绩相同（都是8环），但 s²_A = 0.4 < s²_B = 2.0，A的方差远小于B。说明A发挥更稳定，应选选手A参加比赛。

✅ s²A = 0.4，s²B = 2.0；应选选手A（发挥更稳定）

🚀 拓展提升

📐 标准差

方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，记作 s。

s = √s² = √[1/n [(x₁-x̄)² + (x₂-x̄)² + ... + (xₙ-x̄)²]]

标准差和方差一样，都是衡量数据波动大小的统计量。标准差的优点是单位与原数据一致，便于理解。例如，成绩数据的方差单位是「环²」，而标准差单位是「环」，后者更直观。

🔗 方差与平均数的关系

统计量	反映内容	单位	特点
平均数 x̄	数据的集中趋势	与原数据相同	反映"平均水平"
方差 s²	数据的波动程度	原数据单位的平方	反映"离散程度"
标准差 s	数据的波动程度	与原数据相同	方差的算术平方根

平均数和方差是互补的：平均数描述数据"集中在哪里"，方差描述数据"偏离中心有多远"。两者结合才能全面描述一组数据的特征。

💡 方差的性质

方差非负：s² ≥ 0，当且仅当所有数据相同时 s² = 0
若每个数据都加上常数 c，则方差不变（波动程度不变）
若每个数据都乘以常数 k，则方差变为原来的 k² 倍
方差的大小只与数据的离散程度有关，与平均数的大小无关

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

关于方差，下列说法正确的是？

A方差越大，数据越稳定

B方差越大，数据波动越大

C方差不可能为0

D方差是偏差绝对值的平均数

第 2 题 ★★☆ 巩固

数据 3, 5, 7, 5, 10 的方差是 ______。（保留一位小数）

第 3 题 ★★☆ 巩固

甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别为 s²甲 = 2.5，s²乙 = 1.8。下列结论正确的是？

A甲组数据更稳定

B乙组数据更稳定

C两组数据一样稳定

D无法比较

第 4 题 ★★☆ 巩固

数据 5, 5, 5, 5, 5 的方差是？

A0

B1

C5

D25

第 5 题 ★★★ 拓展

两名运动员各进行5次跳远测试（米），成绩如下。要选一人参赛，应选谁？甲：4.0, 4.2, 4.1, 3.9, 3.8　乙：4.5, 3.5, 4.2, 3.8, 4.0

A选甲，因为甲的方差更小，发挥更稳定

B选乙，因为乙的方差更小

C两人平均成绩相同，选谁都可以

D选乙，因为乙有最好成绩4.5米

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

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课程完成！

恭喜你完成了「数据的波动程度」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 方差：各数据与平均数之差的平方的平均数
② 公式：s² = 1/n[(x₁-x̄)² + (x₂-x̄)² + ... + (xₙ-x̄)²]
③ 方差越大 → 数据波动越大 → 越不稳定
④ 方差越小 → 数据波动越小 → 越稳定
⑤ 比较稳定性：平均数相同时，方差小的更稳定
⑥ 标准差 = 方差的算术平方根，单位与原数据一致