14.3 因式分解 - 动画互动课程

第十四章 · 第三节

因式分解

提公因式法 · 公式法 · 互逆关系

📖 知识点学习

🎯 学习目标

理解因式分解的概念及其与整式乘法的互逆关系
掌握提公因式法，能正确找出各项的公因式
掌握公式法（逆用平方差公式和完全平方公式）进行因式分解

知识点一：因式分解的概念

📐 定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。
如：x² - 4 = (x+2)(x-2)

💡 因式分解与整式乘法的关系

因式分解与整式乘法是互逆过程：
整式乘法：(x+2)(x-2) → x²-4（积 → 和差）
因式分解：x²-4 → (x+2)(x-2)（和差 → 积）

知识点二：提公因式法

📐 方法

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
pa + pb + pc = p(a + b + c)

公因式：多项式各项都含有的相同因式
找公因式的方法：公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的字母；字母的指数取该字母在各项中指数最小的一个
提取后：括号内的式子 = 原多项式 ÷ 公因式

知识点三：公式法

📐 方法

把乘法公式反过来用，就可以用来分解因式。

逆用平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
逆用完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方

💡 重要提示

① 因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
② 因式分解的一般步骤：一提（提公因式）、二套（套公式）、三查（检查是否分解彻底）。
③ 首先看是否有公因式，有则先提取，再考虑用公式法。

🎬 动画讲解

📢

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 提公因式法：8a²b-4ab² 和 3x(x-2)-2(x-2)

把下列各式分解因式：

（1）8a²b - 4ab² （2）3x(x-2) - 2(x-2)

🔍 解题过程

1 第(1)题：找公因式
系数：8 和 4 的最大公约数是 4
字母：两项都含有 a 和 b，a 的最小指数是 1，b 的最小指数是 1
所以公因式为 4ab

2 第(1)题：提取公因式
8a²b ÷ 4ab = 2a，4ab² ÷ 4ab = b
8a²b - 4ab² = 4ab(2a - b)

3 第(2)题：整体公因式
两项都含有因式 (x-2)，所以公因式为 (x-2)
3x(x-2) - 2(x-2) = (x-2)(3x - 2)
结果 = (x-2)(3x-2)

✅ (1) 8a²b - 4ab² = 4ab(2a - b) (2) 3x(x-2) - 2(x-2) = (x-2)(3x-2)

例题 2 公式法：x²-9 和 x²+6x+9

把下列各式分解因式：

（1）x² - 9 （2）x² + 6x + 9

🔍 解题过程

1 第(1)题：识别平方差结构
x² - 9 = x² - 3²，符合平方差公式 a² - b² = (a+b)(a-b)
这里 a = x，b = 3

2 第(1)题：套用公式
x² - 9 = x² - 3² = (x + 3)(x - 3)

3 第(2)题：识别完全平方结构
x² + 6x + 9 中：x² = (x)²，9 = 3²，6x = 2×x×3
符合完全平方公式 a² + 2ab + b² = (a+b)²，a = x, b = 3
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

✅ (1) x² - 9 = (x+3)(x-3) (2) x² + 6x + 9 = (x+3)²

例题 3 综合因式分解：2x²-8 和 3ax²-6ax+3a

把下列各式分解因式：

（1）2x² - 8 （2）3ax² - 6ax + 3a

🔍 解题过程

1 第(1)题：先提公因式
2x² - 8 的公因式为 2
2x² - 8 = 2(x² - 4)

2 第(1)题：再套公式
x² - 4 = x² - 2² = (x+2)(x-2)
所以 2x² - 8 = 2(x+2)(x-2)

3 第(2)题：先提公因式再套公式
公因式为 3a：3ax² - 6ax + 3a = 3a(x² - 2x + 1)
x² - 2x + 1 符合完全平方公式：= (x-1)²
所以 3ax² - 6ax + 3a = 3a(x-1)²

✅ (1) 2x² - 8 = 2(x+2)(x-2) (2) 3ax² - 6ax + 3a = 3a(x-1)²

🚀 拓展提升

📊 因式分解的一般步骤

因式分解要遵循「一提、二套、三查」的步骤：

① 一提：提公因式

→

② 二套：套公式

→

③ 三查：检查是否分解彻底

一提：首先检查多项式各项是否有公因式，有则先提取
二套：提取公因式后，检查括号内的式子能否套用平方差公式或完全平方公式
三查：检查每个因式是否还能继续分解，确保分解彻底

📋 十字相乘法简介

对于某些二次三项式 x² + px + q，如果能找到两个数 a 和 b，使得 a + b = p 且 a × b = q，那么就可以分解为：

x² + px + q = (x + a)(x + b)
其中 a + b = p, a · b = q

例如：x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)，因为 2+3=5, 2×3=6。

这种方法叫做十字相乘法，是因式分解的重要补充方法。

🎨 因式分解的注意事项

因式分解中常见的注意事项和易错点：

因式分解的结果必须是积的形式，不能有加减
分解要彻底，每个因式都不能再分解
提公因式后，括号内的项数 = 原多项式的项数
如果首项系数为负，一般先提取负号
因式分解与整式乘法是互逆的，可以互相验证

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是？

A(x+2)(x-2) = x²-4

Bx²-4 = (x+2)(x-2)

Cx²+2x-4 = x(x+2)-4

Dx²-4+2x = (x+2)(x-2)+2x

第 2 题 ★☆☆ 基础

把 6a²b - 3ab 分解因式，结果是？

A3ab(2a)

B3ab(2a - 1)

C3a(2ab - 1)

D6ab(a - 1)

第 3 题 ★★☆ 巩固

把 x² - 16 分解因式 = ______。

第 4 题 ★★☆ 巩固

把 x² - 4x + 4 分解因式，结果是？

A(x + 2)²

B(x - 2)²

C(x - 2)(x + 2)

D(x - 4)²

第 5 题 ★★★ 提高

把 3x² - 12 分解因式 = ______。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

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课程完成！

恭喜你完成了「因式分解」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 因式分解：把多项式化成几个整式的积的形式
② 因式分解与整式乘法是互逆过程
③ 提公因式法：pa+pb+pc = p(a+b+c)
④ 公式法：a²-b² = (a+b)(a-b)，a²±2ab+b² = (a±b)²
⑤ 一般步骤：一提、二套、三查

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