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第十五章 · 第二节
分式的运算
乘除、加减与整数指数幂的奥秘

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 掌握分式的乘除法法则和乘方法则
  • 掌握分式的加减法法则（同分母和异分母）
  • 理解整数指数幂的意义，会用科学记数法表示绝对值小于1的数
知识点一：分式的乘除法
📐 乘法法则
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
ab · cd = a·cb·d
📐 除法法则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
ab ÷ cd = ab · dc = a·db·c
知识点二：分式的乘方
📐 乘方法则
分式乘方是把分子、分母各自乘方。
(ab)n = anbn  （n为正整数）
知识点三：分式的加减法
  • 同分母分式加减：分母不变，把分子相加减。
    ac ± bc = a ± bc
  • 异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式，再加减。
知识点四：整数指数幂
📐 负整数指数幂
a-n = 1an（a ≠ 0，n为正整数）
即：a-n 是 an 的倒数。
💡 科学记数法
绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示为 a × 10-n 的形式， 其中 1 ≤ |a| < 10，n 为正整数。
例如：0.000 021 = 2.1 × 10-5（小数点向右移动5位）

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1 分式的乘除法
计算：
① 2xy · y²4x²      ② a²b ÷ ab²
🔍 解题过程
1 计算①（乘法）：分子乘分子，分母乘分母。
2xy · y²4x² = 2x · y²y · 4x² = 2xy²4x²y
2 约分①：公因式为 2xy，约分后得 y/(2x)。
2xy²4x²y = y2x

计算②（除法）：除以一个分式等于乘以它的倒数。
a²b ÷ ab² = a²b · b²a
3 约分②：
a² · b²b · a = a²b²ab = ab1 = ab
公因式为 ab，约分后得 ab（整式）。
✅ ① y2x　　② ab
例题 2 分式的加减法
计算：
① 1x + 1y      ② xx-1 - 1x-1
🔍 解题过程
1 计算②（同分母）：分母不变，分子相减。
xx-1 - 1x-1 = x - 1x-1 = 1
（分子分母相同，约分后等于1）
2 计算①（异分母）：先通分，最简公分母为 xy。
1x = yxy ， 1y = xxy
3 同分母相加：
yxy + xxy = x + yxy
分子 x+y 与分母 xy 无公因式，已是最简分式。
✅ ① x + yxy　　② 1
例题 3 负整数指数幂与科学记数法
计算：（2 × 10-3）×（3 × 10-2），并将结果用科学记数法表示。
（2 × 10⁻³）×（3 × 10⁻²）= ?
🔍 解题过程
1 运用乘法交换律：将系数相乘，10的幂相乘。
（2 × 10⁻³）×（3 × 10⁻²）= （2 × 3）×（10⁻³ × 10⁻²）
2 计算系数和幂：2 × 3 = 6；同底数幂相乘，底数不变指数相加：10⁻³ × 10⁻² = 10-3+(-2) = 10⁻⁵。
= 6 × 10⁻⁵
3 验证范围：6 × 10⁻⁵ 中，1 ≤ 6 < 10，满足科学记数法的要求。
10⁻⁵ = 1/10⁵ = 0.00001，所以 6 × 10⁻⁵ = 0.00006。
✅ 结果为 6 × 10⁻⁵（即 0.00006）

🚀 拓展提升

📊 分式混合运算的顺序

分式的混合运算与整式的混合运算顺序相同：

先乘方 → 再乘除 → 最后加减 → 有括号先算括号内
  • 同级运算：从左到右依次计算
  • 不同级运算：先高级后低级（乘方 > 乘除 > 加减）
  • 有括号：先小括号，再中括号，最后大括号
  • 结果：必须化为最简分式或整式

🔢 科学记数法中负指数的应用

用科学记数法表示绝对值小于1的数：a × 10-n，其中 1 ≤ |a| < 10。

0.00305 = 3.05 × 10⁻³
-0.00042 = -4.2 × 10⁻⁴
0.000000108 = 1.08 × 10⁻⁷

技巧：n 的值等于第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零）。

📐 整数指数幂的运算法则汇总

引入负整数指数幂后，幂的运算法则对所有整数指数都成立：

am · an = am+n　　（am）n = amn
（ab）n = anbn　　am ÷ an = am-n

注意：a0 = 1（a ≠ 0），a-n = 1/an（a ≠ 0，n为正整数）。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
计算 ab · b²a² 的结果是？
Aa/b
Bb/a
Cab
D1
第 2 题 ★☆☆ 基础
计算 xx-1 - 1x-1 的结果是？
A0
B1
Cx+1/(x-1)
D-1
第 3 题 ★★☆ 巩固
计算 1a + 1b 的结果是？
A2/(a+b)
B(a+b)/(ab)
C2/(ab)
D1/(ab)
第 4 题 ★★☆ 巩固
2-3 = ______
第 5 题 ★★★ 挑战
用科学记数法表示 0.000 308 = ______ （提示：用 a*10^-n 格式输入）

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「分式的运算」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 乘法：分子乘分子，分母乘分母
② 除法：除以一个分式 = 乘以它的倒数
③ 乘方：分子分母分别乘方
④ 同分母加减：分母不变，分子加减
⑤ 异分母加减：先通分，再加减
⑥ 负整数指数幂：a⁻ⁿ = 1/aⁿ（a≠0）

✏️ 做练习题