26.2 实际问题与反比例函数

第二十六章 · 第二节

实际问题与反比例函数

建立函数模型，用反比例函数解决实际问题

📖 知识点学习

🎯 学习目标

掌握建立反比例函数模型解决实际问题的一般步骤
能将实际问题转化为反比例函数，用待定系数法求解析式
能利用反比例函数的图象和性质分析和解决实际问题
了解反比例函数在行程、工程、物理等领域的常见应用

知识点一：建立反比例函数模型的步骤

📐 解题步骤

用反比例函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题，建立反比例函数模型。

📋 第一步：审题 — 找常量与变量

认真读题，找出问题中的常量（不变的量）和变量（变化的量），确定两个变量之间是否存在反比例关系（即两个变量的乘积是否为定值）。

📋 第二步：设解析式 — 建立函数模型

设两个变量分别为 x 和 y，若 xy = 定值（k），则设反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）。

📋 第三步：求 k — 用待定系数法

根据题目中给出的一组对应值（已知条件），代入 y = k/x 求出 k 的值，从而确定反比例函数的解析式。

📋 第四步：求解 — 回代计算

将要求解的变量代入解析式，求出对应的函数值或自变量的值，得出实际问题的答案。注意检验结果是否符合实际意义。

知识点二：常见的反比例关系应用场景

应用场景	基本关系	定量（常量）	反比例关系
行程问题	路程 = 速度 × 时间	路程 s	v = s/t
工程问题	工作量 = 效率 × 时间	工作量 W	效率 = W/时间
杠杆原理	动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂	阻力×阻力臂	动力 = (阻力×阻力臂)/动力臂
压强问题	压力 = 压强 × 受力面积	压力 F	压强 = F/面积
电学问题	电压 = 电流 × 电阻	电压 U	电流 = U/电阻

🚗 场景一：行程问题

当路程一定时，速度 v 与时间 t 成反比例。

s = v × t （s 为定值） → v = s/t

例如：甲乙两地相距 120 km，速度 v 与时间 t 的关系为 v = 120/t。

🏗️ 场景二：工程问题

当总工作量一定时，工作效率与工作时间成反比例。

W = 效率 × 时间（W 为定值） → 效率 = W/时间

例如：修建 1200 m 道路，每天修 x m，需 y 天，则 y = 1200/x。

🔧 场景三：杠杆原理

杠杆平衡条件：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂（乘积为定值）。

F₁ × L₁ = F₂ × L₂ → F₁ = (F₂ × L₂) / L₁

当阻力 F₂ 和阻力臂 L₂ 一定时，动力 F₁ 与动力臂 L₁ 成反比例。

📐 场景四：压强问题

当压力一定时，压强 p 与受力面积 S 成反比例。

F = p × S （F 为定值） → p = F/S

例如：压力 F = 600 N，压强 p = 600/S（S 为受力面积）。

💡 注意事项

实际问题中，自变量和函数值通常都大于 0，所以图象只在第一象限
要注意变量的实际取值范围，如时间不能为负、速度不能超过某限制等
求出答案后要检验是否符合实际意义
反比例函数图象是分析实际问题的有力工具，可借助图象直观理解变化趋势

🎬 动画讲解

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📝 例题精讲

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例题 1 行程问题 — 速度与时间

甲、乙两地相距 240 km，一辆汽车从甲地匀速开往乙地。
（1）写出汽车速度 v（km/h）与时间 t（h）之间的关系式；
（2）如果速度为 60 km/h，需要多少小时？如果要 3 h 到达，速度至少是多少？

🔍 解题过程

1 审题建模：路程 s = 240 km 是定值，速度 v 与时间 t 满足 s = v × t，即 vt = 240。
所以 v 与 t 成反比例关系，设 v = 240/t（t > 0）。

2 求第（2）问 — 速度 60 km/h 时：将 v = 60 代入 v = 240/t：
60 = 240/t，解得 t = 4（小时）。

3 求第（2）问 — 时间 3 h 时：将 t = 3 代入 v = 240/t：
v = 240/3 = 80（km/h）。
即要 3 小时到达，速度至少为 80 km/h。

✅ （1）v = 240/t（t > 0）；（2）速度 60 km/h 时需 4 小时；3 小时到达速度至少 80 km/h

例题 2 物理应用 — 压强与受力面积

一个物体对地面的压力 F = 600 N，受力面积为 S m²，压强为 p Pa。已知 p = F/S。
（1）写出 p 与 S 之间的关系式；
（2）当 S = 0.3 m² 时，压强是多少？若要求压强不超过 1500 Pa，受力面积至少是多少？

🔍 解题过程

1 审题建模：压力 F = 600 N 是定值，压强 p = F/S = 600/S（S > 0）。
p 与 S 成反比例关系，比例系数 k = 600。

2 求 S = 0.3 时：将 S = 0.3 代入 p = 600/S：
p = 600/0.3 = 2000（Pa）。

3 求压强不超过 1500 Pa 时：由 p ≤ 1500，即 600/S ≤ 1500。
因为 S > 0，所以 600 ≤ 1500S，S ≥ 0.4（m²）。
即受力面积至少为 0.4 m²。

✅ （1）p = 600/S（S > 0）；（2）S = 0.3 时 p = 2000 Pa；压强不超过 1500 Pa 时 S ≥ 0.4 m²

例题 3 物理应用 — 杠杆原理

用撬棍撬一块大石头，石头对撬棍的阻力 F₂ = 1200 N，阻力臂 L₂ = 0.2 m。动力 F₁ 与动力臂 L₁ 满足 F₁ × L₁ = F₂ × L₂。
（1）写出 F₁ 与 L₁ 的关系式；
（2）当动力臂 L₁ = 1 m 时，需要多大的动力？若动力为 100 N，动力臂至少多长？

🔍 解题过程

1 审题建模：由杠杆原理 F₁L₁ = F₂L₂ = 1200 × 0.2 = 240（定值）。
所以 F₁ = 240/L₁（L₁ > 0），F₁ 与 L₁ 成反比例关系。

2 求 L₁ = 1 时：将 L₁ = 1 代入 F₁ = 240/L₁：
F₁ = 240/1 = 240（N）。

3 求 F₁ = 100 时：将 F₁ = 100 代入 100 = 240/L₁：
L₁ = 240/100 = 2.4（m）。
即动力为 100 N 时，动力臂至少 2.4 m。动力臂越长越省力！

✅ （1）F₁ = 240/L₁（L₁ > 0）；（2）L₁ = 1 时 F₁ = 240 N；F₁ = 100 时 L₁ = 2.4 m

🚀 拓展提升

🔗 反比例函数与一次函数的综合应用

在实际问题中，反比例函数常与一次函数结合考查。关键是在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用图象的交点解决实际问题。

交点求法：联立 y = k₁/x 与 y = k₂x + b，解方程组

两图象的交点坐标同时满足两个函数关系式
利用交点可以比较两个函数值的大小关系
交点将图象分为不同区域，不同区域内函数值的大小关系不同

💡 例如：y = 6/x 与 y = 2x 的交点满足 2x = 6/x，x² = 3，x = √3。在第一象限交点为 (√3, 2√3)。

📊 利用图象解决实际问题中的不等式

反比例函数的图象可以直观地比较函数值的大小。以 v = 240/t 为例：

k > 0 时，在第一象限内 v 随 t 增大而减小
若 t > 4，则 v < 60（时间越长速度越慢）
若 v > 80，则 t < 3（速度越快时间越短）
利用图象可以直观看出：曲线上方的点满足 v > 240/t，下方满足 v < 240/t

🎯 反比例函数建模的关键

关键步骤	具体操作	易错点
判断反比例关系	看两变量乘积是否为定值	误将正比例当反比例
确定自变量范围	考虑实际意义，通常 x > 0	忽略取值范围限制
求比例系数 k	用待定系数法代入一组值	k 带错符号
检验结果	检查是否符合实际意义	忘记检验

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

一定质量的气体，压强 p（Pa）与体积 V（m³）成反比例。当 V = 10 时 p = 60，则 p 与 V 的函数关系式为？

Ap = 600/V

Bp = 6/V

Cp = 60V

Dp = V/600

第 2 题 ★☆☆ 基础

填空：甲、乙两地相距 240 km，一辆汽车从甲地开往乙地，速度 v（km/h）与时间 t（h）之间的关系式为 v = ______（用 t 表示）。

第 3 题 ★★☆ 巩固

某工厂生产一批零件，每天生产 x 个，需要 y 天完成。若 x 与 y 成反比例，且每天生产 40 个需要 30 天，则每天生产 60 个需要多少天？

A20 天

B45 天

C15 天

D50 天

第 4 题 ★★☆ 巩固

填空：在反比例函数 y = 100/x 中，当 x = 5 时，y = ______。

第 5 题 ★★★ 拓展

某水池蓄水 200 m³，排水管每小时的排水量为 Q m³，排完水需要 t 小时。下列说法正确的是？

AQ 与 t 成正比例

BQ 与 t 成反比例，且 Qt = 200

CQ 越大，t 越大

D当 Q = 40 时，t = 3

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

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课程完成！

恭喜你完成了「实际问题与反比例函数」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 建模步骤：审题找常量变量 → 设 y=k/x → 求 k → 回代求解
② 行程问题：路程一定时，v = s/t（速度与时间成反比）
③ 工程问题：工作量一定时，效率 = W/时间
④ 杠杆原理：F₁L₁ = F₂L₂（乘积为定值）
⑤ 实际问题中自变量通常 > 0，图象只在第一象限，注意检验