第二十七章 · 第一节

27.1 图形的相似

相似图形的概念与相似多边形的特征

形状相同 · 大小不同 · 对应边成比例

📖 知识点

🎯 学习目标

  • 理解相似图形的概念，能判断两个图形是否相似
  • 掌握相似多边形的特征：对应角相等、对应边成比例
  • 理解相似比的概念，能求两个相似多边形的相似比
  • 能利用相似多边形的性质求未知的边长和角度
💡 核心思想：相似是“形状相同、大小可以不同”的几何关系，它是全等的推广。
知识点一：相似图形的概念
📐 定义
我们把形状相同的图形叫做相似图形（similar figures）。 相似图形的大小不一定相同。把一个图形放大或缩小得到的图形，与原图形是相似的。
💡 理解要点
  • “形状相同”是关键，大小可以不同；两个图形相似，意味着它们的对应角相等、对应线段的比相同。
  • 全等图形（形状和大小都相同）是相似图形的特例。
  • 放大镜下的文字、不同尺寸的同底照片、模型与实物等都是相似图形的例子。
知识点二：相似多边形
📐 定义
两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，且对应边成比例， 那么这两个多边形叫做相似多边形。记作：四边形 ABCD ∽ 四边形 A′B′C′D′。
∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，∠C = ∠C′，∠D = ∠D′
对应角相等
AB / A′B′ = BC / B′C′ = CD / C′D′ = DA / D′A′ = k
对应边成比例（比值为 k）
⚠️ 易错提示
  • 判断两个多边形相似，“对应角相等”和“对应边成比例”两个条件缺一不可。
  • 两个全等多边形一定相似，相似比 k = 1；但相似多边形不一定全等。
  • 对应边的顺序要对应好，书写相似关系时顶点字母必须按对应顺序排列。
知识点三：相似比
📐 定义
相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数），通常用字母 k 表示。 若四边形 ABCD ∽ 四边形 A′B′C′D′，则相似比 k = AB / A′B′。
关系相似比 k含义
k > 1放大前图形被放大到原图的 k 倍
k = 1全等两图形大小形状完全相同
0 < k < 1缩小前图形被缩小为原图的 k
🔑 注意：相似比与顺序有关。A 到 A′ 的相似比为 k，则 A′ 到 A 的相似比为 1/k。

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📝 例题

例 1 判断两个多边形是否相似
已知两个四边形 ABCD 与 A′B′C′D′，各内角对应相等：∠A = ∠A′ = 80°，∠B = ∠B′ = 100°，∠C = ∠C′ = 100°，∠D = ∠D′ = 80°。 各边长如下（单位：cm）：
AB = 4，BC = 6，CD = 5，DA = 3； A′B′ = 8，B′C′ = 12，C′D′ = 10，D′A′ = 7
判断这两个四边形是否相似，并说明理由。
📝 解题过程
1分析条件：已知对应角都相等，还需检验对应边是否成比例。计算各对应边的比值。
2计算比值：AB/A′B′ = 4/8 = 1/2；BC/B′C′ = 6/12 = 1/2；CD/C′D′ = 5/10 = 1/2；DA/D′A′ = 3/7 ≈ 0.43。
3比较比值：前三组对应边的比都等于 1/2，但 DA/D′A′ = 3/7 ≠ 1/2，对应边的比不相等。
4下结论：虽然对应角相等，但对应边不成比例，两个条件缺一不可。
✅ 结论：这两个四边形不相似。理由：对应边的比不相等（3/7 ≠ 1/2）。
例 2 求相似比与未知边长
如图，△ABC ∽ △DEF，已知对应边 AB = 6，DE = 9；另两边 BC = 8，EF = 12；第三组对应边中 AC = 7，求 DF 的长以及这两个三角形的相似比。
AB = 6，BC = 8，AC = 7； DE = 9，EF = 12，DF = ?
📝 解题过程
1先求相似比：因为 △ABC ∽ △DEF，对应边成比例。相似比 k = AB/DE = 6/9 = 2/3。
2验证：BC/EF = 8/12 = 2/3，与相似比一致，说明对应关系正确。
3列比例求 DF：由 AC/DF = k = 2/3，即 7/DF = 2/3，所以 DF = 7 × 3 / 2。
4计算：DF = 21/2 = 10.5。
✅ 结论：DF = 10.5，相似比 k = 2/3。

🚀 拓展：黄金分割与相似

🌟 黄金分割比

在线段 AB 上取一点 P，使 AP/AB = BP/AP ≈ 0.618，这个比叫做黄金分割比，点 P 叫做黄金分割点。黄金分割比 φ = (√5 − 1)/2 ≈ 0.618。

AP : PB = PB : AB = φ ≈ 0.618

这个比例在艺术、建筑、自然界中广泛出现，它与相似图形有着内在联系：比例相等正是相似的本质。

📐 黄金矩形与自相似

宽与长之比为黄金比的矩形称为黄金矩形。在黄金矩形中切去一个正方形，剩下的仍是黄金矩形——它可以无限地“自相似”地分割下去，每一次分割都得到与原矩形相似的小矩形。

长 : 宽 = (1 + φ) : 1 ≈ 1.618 : 1

这种“图形中包含与自身相似的小图形”的现象，正是相似图形的精彩应用，也是分形几何的雏形。

🧠 思考题

所有的正方形都相似吗？所有的矩形都相似吗？所有的等边三角形都相似吗？

提示：正方形和等边三角形各边相等、各角相等，对应边总成比例，所以都相似；但矩形的长宽比不同时对应边不成比例，因此不一定相似。

✏️ 练习

第 1 题 ★☆☆ 基础
下列说法中，正确的是？
A形状相同的两个图形是相似图形
B相似图形的大小一定相同
C全等图形不是相似图形
D放大的图形与原图不相似
第 2 题 ★★☆ 巩固
判断两个多边形相似，必须满足的条件是？
A对应角相等即可
B对应边成比例即可
C对应角相等且对应边成比例
D面积相等即可
第 3 题 ★★☆ 巩固
填空：两个相似多边形的对应边分别为 3 和 7.5，则它们（前一个对后一个）的相似比为 ______。（填分数或小数）
第 4 题 ★★☆ 巩固
两个相似多边形的相似比为 1∶3，较小多边形的一边长为 4，则较多边形对应边的长为？
A4/3
B12
C7
D36
第 5 题 ★★★ 拓展
填空：已知 △ABC ∽ △A′B′C′，相似比为 3∶5，若 A′B′ = 20，则 AB = ______。

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📌 本节核心要点回顾：

① 相似图形：形状相同的图形，大小不一定相同

② 相似多边形：对应角相等 + 对应边成比例（缺一不可）

③ 相似比 k = 对应边的比；k 与顺序有关

④ 全等是相似比为 1 的特殊相似

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