第二十七章 · 第三节

27.3 位似

位似图形的概念与画法

位似中心 · 位似比 · 坐标系中的位似变换

📖 知识点

🎯 学习目标

  • 了解位似图形的概念，认识位似中心与位似比
  • 掌握位似图形的性质：位似图形是相似图形
  • 能根据位似中心和位似比画出图形的位似图形
  • 掌握平面直角坐标系中以为原点位似中心的位似变换坐标规律
💡 核心：位似是一种特殊的相似——对应顶点连线交于同一点（位似中心）。
知识点一：位似图形的概念
📐 定义
如果两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点的连线都经过同一个点， 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
💡 理解要点
  • 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。
  • 位似中心可能在两个图形的外部、内部，也可能在某个顶点上。
  • 位似图形的对应边互相平行（或在同一条直线上）。
知识点二：位似中心与位似比
📐 定义
位似中心：各组对应顶点连线的公共交点，记作 O。
位似比：位似图形对应顶点到位似中心的距离之比，即 OA′/OA = k。 位似比等于这两个图形的相似比。
OA′ / OA = OB′ / OB = OC′ / OC = k
位似比 = 相似比（k 为正表示同侧，k 为负表示异侧）
知识点三：位似图形的性质
📐 性质
① 位似图形是相似图形，位似比 = 相似比；
② 对应边互相平行（或在同一直线上）；
③ 对应点与位似中心共线；当位似比 k > 0 时，对应点在位似中心同侧；当 k < 0 时，在异侧。
知识点四：位似图形的画法
  1. 确定位似中心 O 和位似比 k。
  2. 分别连接位似中心 O 与原图形各顶点（画射线）。
  3. 在射线上按位似比 k 确定各对应点的位置（k > 0 同侧，k < 0 异侧）。
  4. 顺次连接各对应点，得到位似图形。
知识点五：坐标系中的位似变换
📐 坐标规律
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，位似比为 k， 则原图形上点 P(x, y) 的对应点为 P′(kx, ky)。 当 k > 0 时，对应点在原点同侧；当 k < 0 时，对应点在原点异侧。
P(x, y) ——→ P′(kx, ky)
以原点为位似中心，位似比为 k
🔑 例如：点 (2, 3) 以原点为位似中心、位似比 k = 2 时，对应点为 (4, 6)。

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📝 例题

例 1 画位似图形
已知 △ABC 和点 O，以 O 为位似中心，位似比 k = 2，画出 △ABC 的位似图形 △A′B′C′（k > 0，同侧）。
📝 解题过程
1画射线：分别连接位似中心 O 与顶点 A、B、C，并沿 O → A、O → B、O → C 方向画射线。
2定对应点：在射线 OA 上取点 A′，使 OA′ = 2·OA；同理在 OB、OC 上取 B′、C′，使 OB′ = 2·OB，OC′ = 2·OC。
3连接：因为 k = 2 > 0，对应点取在 O 的同侧。顺次连接 A′、B′、C′。
4下结论：△A′B′C′ 即为所求的位似图形，它与 △ABC 位似，位似比为 2，对应边互相平行。
✅ 结论：按上述四步画出的 △A′B′C′ 即为所求，位似比 k = 2。
例 2 坐标系中的位似变换求坐标
在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点为 A(1, 2)、B(3, 2)、C(2, 4)。以原点 O 为位似中心，位似比 k = 2，求位似图形 △A′B′C′ 各顶点的坐标。
A(1,2)，B(3,2)，C(2,4)； k = 2； 求 A′、B′、C′
📝 解题过程
1用坐标规律：以原点为位似中心、位似比为 k 时，P(x, y) → P′(kx, ky)。
2求 A′：A(1, 2) → A′(2×1, 2×2) = (2, 4)。
3求 B′、C′：B(3, 2) → B′(6, 4)； C(2, 4) → C′(4, 8)。
4检验：k = 2 > 0，对应点在原点同侧，坐标均为原来的 2 倍，符合规律。
✅ 结论：A′(2, 4)、B′(6, 4)、C′(4, 8)。

🚀 拓展：位似变换与图形设计

🎨 位似与图案设计

利用位似变换，可以由一个简单图形生成一系列大小不同、方向相同（或相反）的相似图形，组合成富有层次感的图案。许多标志、装饰花纹都运用了位似的思想。

不断以同一中心做位似变换 → 嵌套相似图形

🌀 位似与分形

把一个图形按位似比缩小若干份并按规则排列，不断重复这一过程，就能生成分形图形（如谢尔宾斯基三角形）。分形的每一部分都与整体相似，这正是“自相似”的体现，而位似正是构造自相似的数学工具。

🧠 思考

位似图形与相似图形有什么联系与区别？

提示：位似图形一定是相似图形（特殊的相似，对应点连线交于位似中心）；但相似图形不一定是位似图形（对应点连线不一定交于同一点）。

✏️ 练习

第 1 题 ★☆☆ 基础
下列关于位似图形的说法，正确的是？
A相似图形一定是位似图形
B位似图形一定是相似图形
C位似图形的对应边互相垂直
D位似图形没有位似中心
第 2 题 ★★☆ 巩固
两个位似图形的位似比为 1∶3，则下列说法正确的是？
A它们的相似比为 1∶3
B它们的相似比为 1∶9
C对应点到中心距离之比为 3∶1
D对应边互相垂直
第 3 题 ★★☆ 巩固
填空：以原点为位似中心，位似比 k = 2，点 P(2, 3) 的对应点 P′ 的坐标为 ______。（写成 x,y 形式，如 4,6）
第 4 题 ★★☆ 巩固
关于位似图形的性质，下列说法错误的是？
A位似比等于相似比
B对应点与位似中心在同一直线上
C对应边互相平行或在同一直线上
D位似中心一定在图形外部
第 5 题 ★★★ 拓展
填空：两个位似图形的位似比为 1∶4，若原图形一边长为 5，则位似图形对应边长为 ______。

🎉 恭喜完成！

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📌 本节核心要点回顾：

① 位似图形：相似 + 对应顶点连线交于位似中心

② 位似比 = 相似比；对应边平行（或共线）

③ 位似中心可在图形外、内或顶点上

④ 坐标系中以原点为位似中心：P(x,y) → P′(kx,ky)

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