第二十八章 · 第二节

28.2 解直角三角形及其应用

用三角函数解决测量与工程中的实际问题

📖 知识点

  • 理解解直角三角形的概念，掌握其依据
  • 理解仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角等概念
  • 能运用解直角三角形解决实际测量问题
    • 一、解直角三角形的定义
    📐 定义
    在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素（3 条边、2 个锐角）。由已知元素（至少有一个是边）求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
    二、解直角三角形的依据
    在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，三边 a、b、c（c 为斜边），两锐角 ∠A、∠B：
    ① 勾股定理：a² + b² = c²　　② 两锐角互余：∠A + ∠B = 90°
    ③ 边角关系：sinA = a/c，cosA = b/c，tanA = a/b
    三、相关实际概念
    • 仰角与俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角。
    • 坡度（坡比）与坡角：坡面的铅直高度 h 与水平宽度 l 的比叫坡度 i = h/l = tanα（α 为坡角，即坡面与水平面的夹角）。
    • 方向角（方位角）：以正北或正南方向为基准，描述目标方向的角，如“北偏东 30°”“南偏西 45°”。

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    📝 例题

    💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
    例题 1测角仪测塔高（仰角问题）
    如图，在离塔底中心 B 为 60 m 的点 D 处，用高 1.5 m 的测角仪测得塔顶 A 的仰角为 30°，求塔高 AB。（结果保留根号）
    BD = 60 m，测角仪高 = 1.5 m，仰角 = 30°
    🔍 解题过程
    1建立模型：设测角仪顶部为 E，则△AEB 中 ∠E = 90°，∠AEB 的仰角为 30°，EB = BD = 60，AE ⊥ BD。其中 AE = AB − 1.5。
    2选择三角函数求解：在 Rt△AEB 中，tan30° = AE/EB，故 AE = EB·tan30° = 60 × (√3/3) = 20√3。
    3求塔高：AB = AE + 测角仪高 = 20√3 + 1.5 ≈ 36.1 m。
    ✅ 塔高 AB = (20√3 + 1.5) m ≈ 36.1 m
    例题 2坡度与坡面长（坡度问题）
    一段斜坡的坡比 i = 1 : √3，铅直高度 h = 10 m，求坡角 α 和坡面长。
    i = h/l = 1/√3，h = 10 m
    🔍 解题过程
    1求坡角：坡度 i = tanα = 1/√3，由 tan30° = √3/3 = 1/√3，得 α = 30°。
    2求水平宽度与坡面长：由 i = h/l 得 l = h/i = 10√3 m；坡面长 = √(h² + l²) = √(100 + 300) = 20 m。（或坡面长 = h/sin30° = 10 ÷ 1/2 = 20）
    3结论：坡角越小（坡度越小），坡面越平缓；坡度越大，坡面越陡。
    ✅ 坡角 α = 30°，坡面长 = 20 m
    例题 3海上测距（方向角问题）
    船在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45° 方向，船向正东航行 10 海里到达 B 处后，灯塔 C 恰在 B 的正北方向。求 A 处到灯塔 C 的距离。
    北偏东 45°，AB = 10 海里，C 在 B 正北
    🔍 解题过程
    1分析方位关系：设 A 为原点，正东为 x 轴正方向。C 在 A 的北偏东 45°，说明 C 相对 A 的东西方向距离等于南北方向距离。又 C 在 B 的正北，故 C 的东西方向距离 = AB = 10 海里。
    2建立直角三角形：在 Rt△ 中，AC·sin45° = 东西方向距离 = 10，所以 AC = 10 ÷ (√2/2) = 10√2。
    3结论：方位角问题关键是把“北偏东”等方向转化为直角三角形中的角。
    ✅ A 到灯塔 C 的距离 = 10√2 海里

    🚀 拓展

    🧭 解直角三角形在航海中的应用

    航海中常通过方向角确定船只与灯塔、岛屿的相对位置。例如船只在航行中多次测量同一目标的方位角变化，结合航行的距离，可构造直角三角形计算船与目标的距离，从而判断是否会触礁、何时改变航向等。这是海上避险与导航的重要方法。

    ✈️ 解直角三角形在航空中的应用

    飞机起飞和降落时的飞行仰角、爬升高度与水平距离的关系，都可建立直角三角形模型。已知飞行速度和仰角，可计算单位时间内爬升的高度；反之，给定跑道长度与所需高度，可推算所需的起飞仰角。

    🛣️ 工程中的坡度限制

    公路、铁路的设计对最大坡度有严格限制（如高速公路一般不超过 3%～5%），以保证行车安全。坡度 i = h/l = tanα，坡度越小，坡角越小，车辆上坡所需动力越小、下坡越安全。解直角三角形是计算土方量、坡面长度的基础。

    i = h / l = tan α

    ✏️ 练习

    💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
    第 1 题★☆☆ 基础
    解直角三角形时，已知的元素中至少要有几个是边？
    A0 个
    B1 个
    C2 个
    D无所谓
    第 2 题★★☆ 巩固
    坡度（坡比）i 等于？
    A坡角的大小
    B坡面长 / 水平宽
    C铅直高度 / 水平宽度
    D水平宽度 / 铅直高度
    第 3 题★☆☆ 基础
    在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，斜边 AB = 10，则 ∠A 的对边 BC = ______。
    第 4 题★★☆ 巩固
    关于仰角和俯角，下列说法正确的是？
    A仰角是视线与铅垂线的夹角
    B仰角是视线在水平线下方的角
    C仰角是视线在水平线上方与水平线的夹角
    D俯角是视线在水平线上方的角
    第 5 题★★☆ 巩固
    一斜坡的坡比 i = 1 : 1，则坡角 α = ______°。
    🎉

    恭喜完成！

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    📌 核心要点回顾：
    ① 解直角三角形：已知2元素(至少1边)求其余3元素
    ② 依据：勾股定理、两锐角互余、边角关系(sin/cos/tan)
    ③ 仰角(上)、俯角(下)；坡度 i=h/l=tanα；方向角(北偏东等)

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