九年级上册 · 第二十二章 二次函数

22.1 二次函数的图象和性质

从 y=ax² 到 y=a(x-h)²+k —— 揭开抛物线的奥秘

📖 知识点精讲

🎯 学习目标

  • 理解二次函数的概念，能识别二次函数并指出 a、b、c 的值
  • 会画 y=ax²、y=a(x-h)²+k 的图象，认识抛物线
  • 掌握配方法，能将一般式 y=ax²+bx+c 化为顶点式
  • 理解二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值
📌 二次函数的概念
形如 y = ax² + bx + c（a、b、c 是常数，且 a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。 其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
y = ax² + bx + c　（a ≠ 0）
一般式　|　顶点式：y = a(x - h)² + k，顶点为 (h, k)
y = a(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a
配方法结果：顶点 (-b/2a, (4ac-b²)/4a)，对称轴 x = -b/2a
💡 二次函数的性质
  • 开口方向：a > 0 开口向上；a < 0 开口向下。|a| 越大，开口越小（越窄）。
  • 对称轴：直线 x = -b/2a。
  • 顶点：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)，顶点的纵坐标即为最值。
  • 最值：a > 0 时有最小值；a < 0 时有最大值。
  • 增减性：a > 0 时，对称轴左侧递减、右侧递增；a < 0 时相反。

🎬 动画讲解：抛物线的形成与变换

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📝 典型例题

例题 1 求顶点坐标与对称轴（配方法）
用配方法求二次函数 y = 2x² - 8x + 5 的顶点坐标和对称轴。
y = 2x² - 8x + 5
💡 解题过程
1提取二次项系数： 把二次项与一次项结合并提取 2，得 y = 2(x² - 4x) + 5。
2配方： x² - 4x 配上 (-2)² = 4，得 y = 2(x² - 4x + 4 - 4) + 5 = 2(x - 2)² - 8 + 5 = 2(x - 2)² - 3。
3写出结论： 顶点式为 y = 2(x - 2)² - 3，故顶点为 (2, -3)，对称轴为直线 x = 2。 也可用公式验证：-b/2a = 8/4 = 2，(4ac-b²)/4a = (40-64)/8 = -3。
顶点 (2, -3)，对称轴 x = 2。
例题 2 待定系数法求解析式
已知抛物线 y = ax² + bx + c 经过三点 A(0, 2)、B(1, 0)、C(2, 0)，求该抛物线的解析式。
💡 解题过程
1代入三点列方程组： 由 A(0,2) 得 c = 2；由 B(1,0) 得 a + b + c = 0；由 C(2,0) 得 4a + 2b + c = 0。
2解方程组： 把 c = 2 代入另两式：a + b = -2，4a + 2b = -2（即 2a + b = -1）。 两式相减得 a = 1，再得 b = -3。
3写出解析式： a = 1，b = -3，c = 2，所以 y = x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)，恰好过 (1,0)、(2,0)，符合题意。
y = x² - 3x + 2
例题 3 由图象判断 a、b、c 的符号
已知抛物线 y = ax² + bx + c 的图象：开口向上，对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴交于负半轴。试判断 a、b、c 的符号。
💡 解题过程
1判断 a： 图象开口向上，所以 a > 0。
2判断 b： 对称轴 x = -b/2a > 0，已知 a > 0（2a > 0），所以 -b > 0，即 b < 0。 （口诀：对称轴在右侧，a、b 异号。）
3判断 c： 图象与 y 轴交于负半轴，即 x = 0 时 y = c < 0，所以 c < 0。
a > 0，b < 0，c < 0。

🚀 知识拓展

🔄 抛物线的平移规律

把 y = ax² 的图象平移得到 y = a(x - h)² + k，规律口诀为“左加右减、上加下减”：

y = ax² ──右移h──▶ y = a(x - h)² ──上移k──▶ y = a(x - h)² + k

h > 0 向右移 |h| 个单位，h < 0 向左移；k > 0 向上移，k < 0 向下移。平移不改变抛物线的形状（a 不变），只改变顶点位置。

🎛 a、b、c 对图象的影响

a：决定开口方向与大小。a > 0 开口向上，a < 0 开口向下；|a| 越大开口越窄。

b：与 a 共同决定对称轴位置。口诀“左同右异”：对称轴在 y 轴左侧时 a、b 同号，在右侧时 a、b 异号（b = 0 时对称轴为 y 轴）。

c：决定图象与 y 轴交点的位置，交点为 (0, c)。c > 0 交于正半轴，c < 0 交于负半轴，c = 0 过原点。

🔗 一般式与顶点式的互化

y = ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a

配方法是连接两种形式的桥梁：一般式便于代入求值，顶点式便于读出顶点、对称轴与最值。解题时根据需要灵活转化。

✏️ 课堂练习

第 1 题★☆☆ 基础
下列函数中，是二次函数的是（　）
Ay = 2x + 1
By = x² + 1
Cy = 1/x
Dy = √x
第 2 题★☆☆ 基础
抛物线 y = (x - 3)² + 4 的顶点的横坐标是 ____。
第 3 题★★☆ 中等
抛物线 y = x² - 4x + 3 的对称轴是（　）
A直线 x = 2
B直线 x = -2
C直线 x = 1
D直线 x = 3
第 4 题★★☆ 中等
将抛物线 y = x² 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线是（　）
Ay = (x + 2)² + 3
By = (x - 2)² + 3
Cy = (x - 2)² - 3
Dy = (x + 2)² - 3
第 5 题★★☆ 中等
二次函数 y = -2x² + 4x + 1 的最大值是 ____。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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第 1 节课程完成！

你已掌握二次函数的图象与性质。下一节我们将探究二次函数与一元二次方程的关系。

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