九年级上册 · 第二十二章 二次函数

22.3 实际问题与二次函数

最大利润、抛物线运动、面积最大化 —— 数学建模的力量

📖 知识点精讲

🎯 学习目标

  • 会用二次函数的顶点求实际问题的最大值/最小值
  • 掌握最大利润问题的建模与求解方法
  • 能解决抛物线运动问题（如投篮轨迹）
  • 能解决面积最大化和桥梁拱形问题
📌 用二次函数求最值
实际问题中，若两个变量之间的关系是二次函数，则其顶点的纵坐标即为最值。 a > 0 时有最小值，a < 0 时有最大值。
利润 = (售价 - 进价) × 销量
最大利润问题：设涨价/降价为 x，把售价与销量都用 x 表示，建立利润关于 x 的二次函数。
抛物线运动：h = -5t² + v₀t + h₀
物体上抛运动的高度 h 与时间 t 的关系（g 取 10 m/s²），顶点为最高点。
💡 建立二次函数模型的一般步骤
  • ① 设自变量：恰当选取自变量（如涨价 x 元、边长 x m）。
  • ② 列函数关系式：用含自变量的式子表示目标量（利润、面积、高度等）。
  • ③ 化简配方：整理成 y = ax² + bx + c 或顶点式。
  • ④ 求最值：利用顶点公式或配方法求最大/最小值。
  • ⑤ 检验作答：结合实际意义（自变量取值范围）检验并回答。

🎬 动画讲解：商品定价利润最大化

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📝 典型例题

例题 1 最大利润问题
某商品进价 30 元/件，售价 40 元/件时，月销售 500 件。每涨价 1 元，月销量减少 10 件。问每件涨价多少元时利润最大？此时售价和最大利润各是多少？
💡 解题过程
1设未知数列关系式： 设每件涨价 x 元，则售价 = (40 + x) 元，销量 = (500 - 10x) 件。 利润 y = (40 + x - 30)(500 - 10x) = (10 + x)(500 - 10x)。
2展开化简： y = 5000 - 100x + 500x - 10x² = -10x² + 400x + 5000。 因为 a = -10 < 0，所以 y 有最大值。
3求顶点得结论： x = -b/2a = -400/(2×(-10)) = 20，此时 y = -10×400 + 400×20 + 5000 = 9000。 售价 = 40 + 20 = 60 元。检验：x = 20 ≤ 50（销量非负），符合实际。
每件涨价 20 元（售价 60 元）时利润最大，最大利润为 9000 元。
例题 2 抛物线桥拱问题
一抛物线形拱桥，正常水位时水面宽 20 m，拱顶距水面 4 m。以拱顶为原点建立坐标系，求抛物线解析式；若水面上升 1 m，求此时水面宽度。
💡 解题过程
1建立坐标系： 以拱顶为原点，对称轴为 y 轴，则抛物线形如 y = ax²（a < 0）。
2求解析式： 水面宽 20 m，即 x = ±10 时 y = -4。代入 -4 = a×10²，得 a = -1/25，所以 y = -x²/25。
3求上升后水面宽： 水面上升 1 m，即在 y = -3 处。令 -x²/25 = -3，得 x² = 75，x = ±5√3。 水面宽 = 2×5√3 = 10√3 ≈ 17.3 m。
解析式 y = -x²/25；水面上升 1 m 后水面宽 10√3 m（约 17.3 m）。
例题 3 用篱笆围矩形面积最大化
用 20 m 长的篱笆靠一面墙围成一个矩形场地（墙作为一条长边，不另用篱笆）。怎样围才能使矩形面积最大？最大面积是多少？
💡 解题过程
1设未知数列关系式： 设垂直于墙的边（宽）为 x m，则平行于墙的边（长）为 (20 - 2x) m。 面积 S = x(20 - 2x)。
2化简： S = -2x² + 20x，a = -2 < 0，面积有最大值。
3求顶点得结论： x = -b/2a = -20/(2×(-2)) = 5，长 = 20 - 2×5 = 10 m。 最大面积 S = 5×10 = 50 m²。检验：0 < x < 10，x = 5 符合实际。
宽 5 m、长 10 m 时面积最大，最大面积 50 m²。

🚀 知识拓展

🛠 建立二次函数模型的一般步骤

解决实际最值问题，关键是把实际问题抽象为二次函数模型：

实际问题 → 设自变量 → 列函数关系式 → 配方/求顶点 → 结合实际检验

特别注意自变量的取值范围：售价、销量、边长等必须为正，要在实际意义允许的范围内求最值。若顶点不在取值范围内，最值需在端点处取得。

🧠 数学建模思想

数学建模是把实际问题用数学语言（公式、图象）描述出来的过程。二次函数是刻画“最优”“最大/最小”类问题的有力工具，广泛应用于经济（利润）、物理（运动）、工程（面积、拱形）等领域。

🏀 抛物线运动问题

物体做斜抛或上抛运动时，高度 h 与时间 t 满足 h = -½gt² + v₀t + h₀（g 为重力加速度，常取 10 m/s²，即 h = -5t² + v₀t + h₀）。该函数顶点对应最高点，令 h = 0 可求落地时间。

h = -5t² + v₀t + h₀　顶点 t = v₀/10，最高 h = h₀ + v₀²/20

✏️ 课堂练习

第 1 题★☆☆ 基础
二次函数 y = -x² + 2x + 3 的最大值是（　）
A3
B4
C-1
D2
第 2 题★☆☆ 基础
某商品利润 y（元）与涨价 x（元）之间满足 y = -5x² + 200x + 1000，则利润最大时 x = ____。
第 3 题★★☆ 中等
用 16 m 长的篱笆围成一个封闭矩形场地（不靠墙，围四边），能围成的最大面积是（　）
A16 m²
B32 m²
C64 m²
D8 m²
第 4 题★★☆ 中等
一抛物线形拱桥，正常水位时水面跨度（宽）为 20 m，拱顶距水面 4 m。以拱顶为原点建立坐标系，则抛物线解析式为（　）
Ay = -x²/25
By = -x²/16
Cy = x²/25
Dy = -x²/4
第 5 题★★☆ 中等
某商品进价 20 元，售价 30 元时日销 200 件，每涨价 1 元少销 5 件。则利润最大时售价为 ____ 元。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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第 3 节课程完成！

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