25.2 用列举法求概率 - 动画互动课程

第二十五章 · 第二节

用列举法求概率

列表法与树状图法

📖 知识点学习

🎯 学习目标

掌握用列表法列举所有等可能结果
掌握用树状图法列举所有等可能结果
能根据试验因素个数选择合适的方法求概率

知识点一：列表法

📐 定义

当一次试验涉及两个因素（如掷两枚骰子），且可能出现的结果较多时，可以用表格列举出所有可能的结果。表格的行和列分别表示两个因素的各种可能取值，交叉处填入对应的结果。

知识点二：树状图法

📐 定义

当一次试验涉及三个或更多因素（如连续抛三枚硬币）时，列表法不再方便，可以用树状图列举所有可能结果。从左到右逐层画出每个因素的分支，从根到每条路径末端就是一个完整结果。

📊

列表法

适用于两个因素的试验
如：掷两枚骰子、摸两次球（放回）
结果数：行数 × 列数

🌳

树状图法

适用于三个或更多因素的试验
如：抛三枚硬币、连续摸三次球
结果数：各层分支数相乘

知识点三：用列举法求概率的步骤

第1步：选择合适方法（列表法或树状图法），列举所有可能的等可能结果
第2步：确定总结果数 n 和事件 A 包含的结果数 m
第3步：代入公式 P(A) = m/n 计算概率

💡 重要提示

使用列举法的前提是每种结果出现的可能性相等。注意区分「放回」和「不放回」：放回时每次可能性不变，不放回时总数逐次减少。

🎬 动画讲解

📢

点击「播放动画」按钮开始学习...

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 用列表法求掷两枚骰子的概率

同时掷两枚均匀骰子，求「两枚骰子点数之和等于 7」的概率。

试验：掷两枚骰子　事件 A = {点数之和 = 7}

🔍 解题过程

1 列表列举：用列表法，行表示第一枚骰子（1~6），列表示第二枚骰子（1~6），交叉处填两数之和，共 n = 6×6 = 36 种等可能结果。

2 找出和为7的结果：(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共 m = 6 种。

3 计算概率：P(A) = m/n = 6/36 = 1/6。

✅ P(点数之和=7) = 6/36 = 1/6

例题 2 用树状图法求三次摸球的概率

袋中有 1 个红球、1 个白球（除颜色外完全相同），有放回地摸 3 次。求「3 次摸到的颜色不全相同」的概率。

红球(R)、白球(W)各1个，有放回摸3次

🔍 解题过程

1 画树状图：涉及 3 次摸球（三个因素），每次有 R 或 W 两种可能。画树状图，从左到右分三层，共 n = 2×2×2 = 8 种等可能结果：RRR、RRW、RWR、RWW、WRR、WRW、WWR、WWW。

2 确定事件结果：「不全相同」即排除 RRR 和 WWW，有 m = 8 - 2 = 6 种。

3 计算概率：P = m/n = 6/8 = 3/4。

✅ P(不全相同) = 6/8 = 3/4

例题 3 游戏公平性判断

甲、乙两人玩转盘游戏。转盘A等分为红、蓝两份，转盘B等分为红、蓝、绿三份。同时转动两个转盘，若两指针颜色相同甲赢，否则乙赢。游戏公平吗？

转盘A：红、蓝　转盘B：红、蓝、绿

🔍 解题过程

1 列表列举：用列表法，A盘{红,蓝}×B盘{红,蓝,绿}，共 n = 2×3 = 6 种结果：(红,红)、(红,蓝)、(红,绿)、(蓝,红)、(蓝,蓝)、(蓝,绿)。

2 分别计算概率：颜色相同（甲赢）：(红,红)、(蓝,蓝)，m₁=2，P(甲)=2/6=1/3。颜色不同（乙赢）：其余4种，P(乙)=4/6=2/3。

3 判断公平性：P(甲) ≠ P(乙)，甲赢的概率小于乙赢的概率，游戏不公平。

✅ P(甲)=1/3，P(乙)=2/3，游戏不公平（对乙有利）

🚀 拓展提升

🧮 复杂事件的概率计算

对于复杂事件，可以先将其分解为简单事件，再用列举法分别求各部分概率。例如「至少有一次成功」的概率，可以先求「全部失败」的概率，再用 1 减去它。这种间接法在处理「至少」「至多」类问题时非常有效。

P(至少一次) = 1 - P(全部不发生)

⚖️ 概率与游戏公平性

一个游戏公平，意味着各方获胜的概率相等。判断游戏是否公平，关键是用列举法列出所有可能结果，分别计算各方获胜的结果数和概率。如果概率相等则公平，否则不公平。这在设计游戏规则、分析博彩问题时非常重要。

🔄 放回与不放回的区别

放回抽样：每次摸球后放回袋中，每次可能性不变，各次独立。如摸 3 次每次 2 种可能，共 2³=8 种结果。
不放回抽样：每次摸球后不放回，总数逐次减少，各次不独立。如 3 红 2 白不放回摸 2 次，第一次 5 种可能，第二次 4 种可能，共 5×4=20 种（有序）结果。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

同时掷两枚均匀骰子，总共有多少种等可能的结果？

A12 种

B36 种

C21 种

D6 种

第 2 题 ★★☆ 巩固

同时掷两枚均匀骰子，「两枚点数相同」的概率为 ______。（用分数表示）

第 3 题 ★★☆ 巩固

连续抛 3 枚均匀硬币，「恰好出现 2 次正面」的概率为 ______。（用分数表示）

第 4 题 ★★☆ 巩固

袋中有 2 红 1 白三个球（除颜色外相同），不放回地摸 2 次。「两次都摸到红球」的概率是？

A1/3

B4/9

C2/3

D1/2

第 5 题 ★★★ 拓展

甲乙玩「石头剪刀布」游戏（各出一种），「甲赢」的概率为 ______。（用分数表示）

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

🎉

课程完成！

恭喜你完成了「用列举法求概率」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 列表法：适用于两个因素的试验（如掷两枚骰子）
② 树状图法：适用于三个或更多因素的试验（如抛三枚硬币）
③ 求概率三步：列举所有结果(n) → 确定事件结果数(m) → P(A)=m/n
④ 注意放回与不放回的区别，注意等可能性前提