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第一章 · 第三节
集合的基本运算
交集 · 并集 · 补集 · 全集与运算性质

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解交集、并集、补集的概念与运算
  • 掌握全集的概念及补集的求法
  • 会运用集合运算解决简单问题
  • 理解集合运算的基本性质
知识点一：交集与并集
交集
由属于 A 且属于 B 的所有元素组成的集合，记作 A∩B，即 A∩B={x | x∈A 且 x∈B}。
并集
由所有属于 A 或属于 B 的元素组成的集合，记作 A∪B，即 A∪B={x | x∈A 或 x∈B}。
运算性质
  • A∩B ⊆ A ⊆ A∪B
  • A∩A=A，A∪A=A
  • A∩∅=∅，A∪∅=A
  • 若 A⊆B，则 A∩B=A，A∪B=B
知识点二：全集与补集
全集
如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，称该集合为全集，通常记作 U。
补集
设 U 是全集，A⊆U，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫 A 在 U 中的补集，记作 ∁ᵤA，即 ∁ᵤA={x | x∈U 且 x∉A}。
补集性质1
A∪∁ᵤA
= U
补集性质2
A∩∁ᵤA
= ∅
补集性质3
∁ᵤ(∁ᵤA)
= A

🎬 动画讲解

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🧪 互动实验：集合运算可视化

💡 拖动滑块改变集合 A、B 的范围，在数轴上观察交集、并集、补集
⚙️ 实验参数（全集 U={1..12}）
集合 A{1,2,3,4,5}
A∩B—
A∪B—
∁ᵤA—
📋 实验结论
交集取两集合公共元素，并集取两集合所有元素（重复只算一次），补集取全集 U 中不在 A 内的元素。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1交集并集运算
设 A={x | −1≤x≤3}，B={x | 2≤x≤5}，求 A∩B 和 A∪B。
🔍 解题过程
1画数轴：A 覆盖 [−1,3]，B 覆盖 [2,5]，公共部分为 [2,3]。
2A∪B 为两段合并：[−1,5]。
✅ A∩B={x | 2≤x≤3}，A∪B={x | −1≤x≤5}。
例题 2补集运算
设 U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，B={2,3,4}，求 ∁ᵤ(A∪B)。
🔍 解题过程
1先求 A∪B={1,2,3,4,5}。
2∁ᵤ(A∪B)=U 中不属于 A∪B 的元素：{6}。
✅ ∁ᵤ(A∪B)={6}。

🚀 拓展提升

德·摩根定律（反演律）

∁ᵤ(A∩B)=(∁ᵤA)∪(∁ᵤB)；∁ᵤ(A∪B)=(∁ᵤA)∩(∁ᵤB)。即"交的补=补的并"，"并的补=补的交"。

容斥原理

有限集元素个数：card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)。这是计数问题的重要工具。

数轴与Venn图的作用

  • 连续数集（区间）运算用数轴直观
  • 离散元素集合运算用Venn图直观
  • 求补集要明确全集U的范围

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
设 A={1,2,3}，B={2,3,4}，则 A∩B = ？
A{1,2,3,4}
B{2,3}
C{1,4}
D∅
第 2 题★☆☆ 基础
设 A={1,2,3}，B={2,3,4}，则 A∪B = ？
A{1,2,3,4}
B{2,3}
C{1,4}
D∅
第 3 题★★☆ 巩固
设 U=R，A={x | x<2}，则 ∁ᵤA = ？
A{x | x≤2}
B{x | x≥2}
C{x | x>2}
D{x | x<2}
第 4 题★★☆ 巩固
设 U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，则 card(∁ᵤA) = ？
A1
B2
C3
D5
第 5 题★★★ 拓展
设 A={x | x²−5x+6≤0}，求 A∩Z（用列举法写出）。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「集合的基本运算」的学习！

📌 核心要点：
① 交集 A∩B：公共元素，"且"
② 并集 A∪B：所有元素，"或"
③ 补集 ∁ᵤA：U 中不属于 A 的元素
④ A∩∁ᵤA=∅，A∪∁ᵤA=U
⑤ 德·摩根：∁ᵤ(A∪B)=(∁ᵤA)∩(∁ᵤB)