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第三章 · 第四节
函数的应用（一）
一次/二次函数模型 · 分段函数 · 实际问题建模

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 会用一次函数、二次函数解决实际问题
  • 理解分段函数在实际中的应用
  • 掌握数学建模的基本步骤
  • 能求实际问题的最值
知识点一：常见函数模型
一次函数模型
y=kx+b（k≠0），描述均匀变化的过程，如通话费、行程问题。图象为直线。
二次函数模型
y=ax²+bx+c（a≠0），描述抛物型变化，如抛体运动、利润最值问题。a<0 时有最大值。
分段函数模型
不同范围用不同解析式，如出租车计费、阶梯电价、个人所得税等。
知识点二：数学建模步骤
建模一般过程
  • ① 审题：理解实际情境，明确变量
  • ② 建模：设变量，建立函数关系式
  • ③ 求解：求定义域、最值等
  • ④ 还原：回到实际问题作答
知识点三：利润最值问题
利润模型
利润 = 收入 − 成本。若单价 p、销量 q、成本 C，则利润 L=p·q−C。常通过二次函数配方法求最大利润。
一次模型
y=kx+b
均匀变化
二次模型
y=ax²+bx+c
最值问题
分段模型
f₁∪f₂
阶梯计费

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：利润最值探究

💡 调节单价调整量，观察利润变化，找出最大利润对应的定价
⚙ 利润模型
单价5.0
销量100
利润500
📋 实验结论
某商品原价10元，每降1元销量增加20件，成本4元。利润 L=(10−n−4)(100+20n) 是关于 n 的二次函数，n=2 时利润最大为720元。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1分段计费
出租车3公里内收费10元，超过3公里每公里2元。写出费用 y（元）与里程 x（公里）的函数关系。
🔍 解题过程
10<x≤3 时，y=10（起步价）。
2x>3 时，y=10+2(x−3)=2x+4。
✅ y={10, 0<x≤3; 2x+4, x>3}。
例题 2利润最大值
商品单价10元，销量100件，单价每提高1元销量减少5件，成本6元/件。定价多少时利润最大？
🔍 解题过程
1设提价 x 元，单价 10+x，销量 100−5x，单件利润 (10+x)−6=4+x。
2利润 L=(4+x)(100−5x)=−5x²+80x+400，配方 L=−5(x−8)²+720。
✅ x=8 时利润最大，即定价 18 元，最大利润 720 元。

🚀 拓展提升

数学建模的思想

将实际问题抽象为数学问题（函数），用数学方法求解，再还原为实际结论。这是应用数学的核心方法。

定义域的实际意义

实际问题中函数定义域受实际限制。如销量不能为负、价格非负等，求最值时必须在合理范围内。

二次函数最值的配方

y=ax²+bx+c 配方为 y=a(x+b/2a)²+(4ac−b²)/4a。a<0 时 x=−b/2a 取最大值 (4ac−b²)/4a。需检验是否在定义域内。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
某商品原价10元，降价1元销量增加20件，这属于？
A二次函数模型
B一次/二次函数模型
C分段函数模型
D指数函数模型
第 2 题★☆☆ 基础
函数 y=−x²+4x+5 的最大值是？
A5
B9
C4
D无最大值
第 3 题★★☆ 巩固
出租车3公里内10元，超过每公里2元，则8公里费用是？
A10
B20
C16
D26
第 4 题★★☆ 巩固
利润 L=−5x²+80x+400，利润最大时 x 的值是？
A4
B8
C10
D16
第 5 题★★★ 拓展
某商品单价10元销量100件，每提价1元销量减5件，成本6元。提价多少元时利润最大？最大利润多少？

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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课程完成！

恭喜你完成了「函数的应用（一）」的学习！也完成了第三章全部内容！

📌 核心要点：
① 一次函数模型：均匀变化
② 二次函数模型：求最值（利润等）
③ 分段函数模型：阶梯计费
④ 建模步骤：审题→建模→求解→还原
⑤ 利润=收入−成本，配方法求最大值