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第五章 · 第五节
三角恒等变换
两角和差公式 · 二倍角公式 · 半角公式

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 掌握两角和与差的三角函数公式
  • 掌握二倍角公式
  • 能进行三角恒等式的化简与证明
知识点一：两角和与差公式
两角和公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)
两角差公式
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
知识点二：二倍角公式
正弦
sin2α
=2sinαcosα
余弦
cos2α
=cos²α−sin²α
变形1
cos2α
=2cos²α−1
变形2
cos2α
=1−2sin²α
知识点三：辅助角公式
辅助角公式
a·sinx+b·cosx=√(a²+b²)·sin(x+φ)，其中tanφ=b/a。如sinx+cosx=√2·sin(x+π/4)。

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：公式验证

💡 调节角度α和β，验证两角和公式
⚙ 角度参数
sin(α+β)1.00
sinαcosβ+cosαsinβ1.00
验证相等
📋 实验结论
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ恒成立。α=30°,β=60°时sin90°=1=1/4+3/4=1。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1求值
求 sin75° 的值。
🔍 解题过程
175°=45°+30°，sin75°=sin(45°+30°)。
2=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2×√3/2+√2/2×1/2=(√6+√2)/4。
✅ sin75°=(√6+√2)/4。
例题 2二倍角
已知sinα=3/5, α∈(0,π/2)，求sin2α和cos2α。
🔍 解题过程
1cosα=4/5。sin2α=2sinαcosα=2×3/5×4/5=24/25。
2cos2α=cos²α−sin²α=16/25−9/25=7/25。
✅ sin2α=24/25, cos2α=7/25。

🚀 拓展提升

升降幂公式

  • cos²α=(1+cos2α)/2（降幂）
  • sin²α=(1−cos2α)/2（降幂）
  • 1+cos2α=2cos²α（升幂）

辅助角公式的应用

a·sinx+b·cosx=√(a²+b²)·sin(x+φ)可将复杂三角表达式化为单一三角函数。如sinx+cosx=√2·sin(x+π/4)，最大值√2。

公式的推导

两角和余弦公式是最基本的公式，可通过距离公式证明。其他公式都可由此推出。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
sin2α = ?
Asinαcosα
B2sinαcosα
Csin²α−cos²α
D2cosα
第 2 题★☆☆ 基础
cos2α = ?
Acos²α−sin²α
B2cosαsinα
Ccos²α+sin²α
D2sin²α
第 3 题★★☆ 巩固
sin(α+β) = ?
Asinαcosβ+cosαsinβ
Bsinαcosβ−cosαsinβ
Ccosαcosβ−sinαsinβ
Dcosαcosβ+sinαsinβ
第 4 题★★☆ 巩固
cos2α 的另一形式是？
A2cos²α−1
B2sin²α−1
C2sinαcosα
Dcos²α+sin²α
第 5 题★★★ 拓展
化简sinx+cosx为√A·sin(x+φ)形式，A=?

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「三角恒等变换」的学习！

📌 核心要点：
① sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
② cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
③ sin2α=2sinαcosα
④ cos2α=cos²α−sin²α=2cos²α−1=1−2sin²α
⑤ 辅助角公式：a·sinx+b·cosx=√(a²+b²)·sin(x+φ)