第一章 · 第二节
空间向量基本定理
共线向量定理 · 共面向量定理 · 空间向量基本定理
🧪 互动实验：向量分解
💡 拖动滑块改变基底系数 x、y、z，观察合成向量 p = xa + yb + zc 的变化
p = xa + yb + zc(1.5, 1.0, 1.0)
|p|2.06
📋 实验结论
空间中任一向量都可由不共面的三个基向量唯一线性表示 p = xa + yb + zc。改变系数 x、y、z，合成向量 p 随之变化，体现了基底分解的唯一性。
📝 例题精讲
💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
设 a, b 是不共线的向量，向量 c = 2a − 3b，d = −4a + 6b。判断 c 与 d 是否共线。
🔍 解题过程
1观察：d = −4a + 6b = −2(2a − 3b) = −2c。
2判断：由于 d = −2c，即存在实数 λ = −2 使 d = λc。
3结论：由共线向量定理，c 与 d 共线。
✅ c 与 d 共线，因为 d = −2c。
已知 {a, b, c} 是空间的一个基底，向量 p = 2a + 3b − c，q = a − b + 2c。求 2p − q 用基底表示的结果。
🔍 解题过程
1计算：2p = 2(2a + 3b − c) = 4a + 6b − 2c。
2相减：2p − q = (4a + 6b − 2c) − (a − b + 2c) = 3a + 7b − 4c。
3结论：2p − q = 3a + 7b − 4c，已用基底 {a, b, c} 表示。
✅ 2p − q = 3a + 7b − 4c。
✏️ 练习巩固
💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
向量 a 与 b（b≠0）共线的充要条件是？
Aa = λb（λ为实数）
Ba·b = 0
C|a| = |b|
Da + b = 0
下列可作为空间一个基底的向量组是？
A三个共面向量
B三个共线向量
C含零向量的三个向量
D三个不共面的非零向量
在空间向量基本定理中，p = xa + yb + zc，其中实数 x, y, z 的值是？
A不存在的
B唯一确定的
C有无数组
D与基底无关
已知 a, b 不共线，p = 3a + 2b 与 q = 6a + 4b 的关系是？
设 {a, b, c} 是空间基底，则下列也能作为基底的是？
Aa+b, a−b, 2a
Ba, b, a+b
Ca+b, b+c, a+c
Da, 2a, 3a
🧠 知识点问答
老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！