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第一章 · 第四节
空间向量的应用
平行与垂直 · 空间角 · 空间距离

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 掌握用向量方法证明空间中的平行与垂直关系
  • 掌握用向量求空间角（线线角、线面角、面面角）
  • 掌握用向量求点到平面的距离
  • 体会向量法解决立体几何问题的优越性
知识点一：用向量证明平行与垂直
📐 方向向量与法向量
直线的方向向量：与直线平行的非零向量，记作 d。
平面的法向量：与平面垂直的非零向量，记作 n。
设直线 l 的方向向量为 d，平面 α 的法向量为 n。
💡 平行与垂直的判定
  • 线线平行：l₁ ∥ l₂ ⇔ d₁ ∥ d₂ ⇔ d₁ = λd₂
  • 线线垂直：l₁ ⊥ l₂ ⇔ d₁ ⊥ d₂ ⇔ d₁·d₂ = 0
  • 线面平行：l ∥ α ⇔ d ⊥ n ⇔ d·n = 0
  • 线面垂直：l ⊥ α ⇔ d ∥ n ⇔ d = λn
  • 面面平行：α ∥ β ⇔ n₁ ∥ n₂
  • 面面垂直：α ⊥ β ⇔ n₁ ⊥ n₂ ⇔ n₁·n₂ = 0
知识点二：用向量求空间角
📐 三种空间角
线线角：异面直线所成角 θ，cosθ = |d₁·d₂| / (|d₁||d₂|)（θ ∈ [0°, 90°]）
线面角：直线与平面所成角 θ，sinθ = |d·n| / (|d||n|)（θ ∈ [0°, 90°]）
面面角：二面角的平面角 θ，cosθ = n₁·n₂ / (|n₁||n₂|)（注意方向确定锐角还是钝角）
cosθ
线线角
|d₁·d₂|/(|d₁||d₂|)
sinθ
线面角
|d·n|/(|d||n|)
cosθ
面面角
n₁·n₂/(|n₁||n₂|)
知识点三：用向量求距离
📏 点到平面的距离
设 P 是平面 α 外一点，α 的法向量为 n，Q 是 α 上任一点，则点 P 到平面 α 的距离：
d = |PQ·n| / |n|
即向量 PQ 在法向量 n 方向上的投影的绝对值。
💡 向量法的优势
  • 将几何问题转化为代数计算，思路清晰
  • 避免了复杂的几何作图和推理
  • 方法程序化，便于操作
  • 关键是建立坐标系和求法向量

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：线面角探究

💡 调节直线方向向量与平面法向量的夹角，观察线面角的变化
⚙️ 参数调节
线面角 θ45°
sinθ0.707
关系斜交
📋 实验结论
线面角 θ 满足 sinθ = |d·n|/(|d||n|)。当直线与法向量平行时线面角为90°（垂直于平面）；当直线与法向量垂直时线面角为0°（在平面内或平行于平面）。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1用向量证明垂直
在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：BD₁ ⊥ AC。（棱长为1，建立空间直角坐标系 D-xyz）
🔍 解题过程
1建系：以 D 为原点，DA、DC、DD₁ 分别为 x、y、z 轴。则 A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，D₁(0,0,1)。
2求向量：BD₁ = (0−1, 0−1, 1−0) = (−1, −1, 1)；AC = (0−1, 1−0, 0−0) = (−1, 1, 0)。
3验证：BD₁·AC = (−1)(−1) + (−1)(1) + 1×0 = 1 − 1 + 0 = 0。
✅ BD₁·AC = 0，所以 BD₁ ⊥ AC，得证。
例题 2求线面角
正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长为2，求直线 BD₁ 与平面 ABCD 所成角的正弦值。
🔍 解题过程
1建系：以 D 为原点建系。平面 ABCD 的法向量为 n = (0, 0, 1)（z轴方向）。
2求方向向量：BD₁ = (0−2, 0−2, 2−0) = (−2, −2, 2)。
3计算：sinθ = |BD₁·n| / (|BD₁||n|) = |2| / (√(4+4+4)×1) = 2/√12 = 2/(2√3) = √3/3。
✅ 直线 BD₁ 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 √3/3。

🚀 拓展提升

🔍 求平面法向量的方法

已知平面内两个不共线向量 a, b，求法向量 n。

  • 设 n = (x, y, z)
  • 由 n·a = 0 和 n·b = 0 列方程组
  • 令某个变量为特殊值，解出其余变量
  • 法向量不唯一（成倍数关系）

💡 二面角的求法

用法向量求二面角需注意方向。

  • cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|)（取锐角）
  • 法向量方向决定锐角或钝角
  • 需结合图形判断二面角是锐是钝

📐 向量法解题步骤

向量法解决立体几何问题的标准流程。

  • ① 建系：选择适当的原点和坐标轴
  • ② 写坐标：写出相关点和向量坐标
  • ③ 求法向量：求平面的法向量
  • ④ 代公式：代入夹角或距离公式
  • ⑤ 结论：将结果转化为几何结论

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
直线 l 的方向向量为 d，平面 α 的法向量为 n，则 l ∥ α 的条件是？
Ad ∥ n
Bd · n = 0
Cd = n
D|d| = |n|
第 2 题★☆☆ 基础
两个平面的法向量分别为 n₁, n₂，则两平面垂直的条件是？
An₁ ∥ n₂
Bn₁ · n₂ = 0
Cn₁ = n₂
D|n₁| = |n₂|
第 3 题★★☆ 巩固
求异面直线所成角 θ 的公式是？
Acosθ = |d₁·d₂|/(|d₁||d₂|)
Bsinθ = |d·n|/(|d||n|)
Ctanθ = d₁·d₂/(|d₁||d₂|)
Dcosθ = d₁·d₂
第 4 题★★☆ 巩固
点 P 到平面 α 的距离公式（α 的法向量为 n，Q 为 α 上一点）是？
A|PQ|·|n|
B|PQ·n| / |n|
C|PQ| + |n|
DPQ·n
第 5 题★★★ 拓展
直线 l 的方向向量 d = (1, 1, 1)，平面 α 的法向量 n = (1, 0, 0)，则 l 与 α 所成角的正弦值为？
A1/3
B√3/3
C√2/2
D1/2

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「1.4 空间向量的应用」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 线面平行：d·n = 0；线面垂直：d ∥ n
② 线线角：cosθ = |d₁·d₂|/(|d₁||d₂|)
③ 线面角：sinθ = |d·n|/(|d||n|)
④ 面面角：cosθ = n₁·n₂/(|n₁||n₂|)
⑤ 点面距：d = |PQ·n|/|n|