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第三章 · 第一节
椭圆
椭圆定义 · 标准方程 · 几何性质

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解椭圆的定义（到两焦点距离之和为定值）
  • 掌握椭圆标准方程的推导与形式
  • 理解 a、b、c 的关系及离心率的含义
  • 掌握椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点）
知识点一：椭圆的定义
⭕ 椭圆的定义
平面内与两个定点 F₁、F₂ 的距离的和等于常数（大于 |F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 |F₁F₂| = 2c 叫做焦距。
记距离之和为 2a，则需满足 2a > 2c（即 a > c）。
💡 定义要点
  • 距离之和 2a 必须大于焦距 2c（否则不是椭圆）
  • 2a = 2c 时轨迹为线段 F₁F₂
  • 2a < 2c 时轨迹不存在
  • 椭圆上任一点 P 满足 |PF₁| + |PF₂| = 2a
知识点二：椭圆的标准方程
📐 标准方程（焦点在x轴）
焦点在 x 轴上，焦点 F₁(−c, 0)、F₂(c, 0)，椭圆标准方程为：
x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）
其中 b² = a² − c²，a 为半长轴，b 为半短轴。
📐 标准方程（焦点在y轴）
焦点在 y 轴上，焦点 F₁(0, −c)、F₂(0, c)，椭圆标准方程为：
y²/a² + x²/b² = 1（a > b > 0）
a
半长轴
a²=b²+c²
b
半短轴
b²=a²−c²
c
半焦距
c²=a²−b²
e
离心率
e=c/a
知识点三：椭圆的几何性质
📐 椭圆 x²/a²+y²/b²=1 的性质
范围：|x| ≤ a，|y| ≤ b
对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称
顶点：(±a, 0)、(0, ±b)，共4个
焦点：F₁(−c, 0)、F₂(c, 0)
离心率：e = c/a，0 < e < 1
长轴：2a；短轴：2b
💡 离心率的意义
  • 离心率 e = c/a，范围 0 < e < 1
  • e 越接近 0，椭圆越圆（越接近圆）
  • e 越接近 1，椭圆越扁
  • 当 e = 0 时（a = b），椭圆变为圆
  • 离心率描述椭圆的扁平程度

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：椭圆形状探究

💡 调节参数 a 和参数 b，观察椭圆形状、焦距和离心率的变化（a≥b 时焦点在 x 轴，a<b 时焦点在 y 轴）
⚙️ 椭圆参数
半焦距 c2.65
离心率 e0.661
标准方程x²/16+y²/9=1
📋 实验结论
椭圆 x²/a²+y²/b²=1 中，a 决定长轴长度，b 决定短轴长度。c = √(a²−b²) 为半焦距，e = c/a 为离心率。e 越大椭圆越扁，e 越小越接近圆。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1求椭圆标准方程
已知椭圆的两个焦点为 F₁(−4, 0)、F₂(4, 0)，椭圆上一点 P 到两焦点距离之和为 10，求椭圆的标准方程。
🔍 解题过程
1确定参数：2a = 10，所以 a = 5；焦距 2c = 8，c = 4。
2求 b：b² = a² − c² = 25 − 16 = 9，b = 3。
3写出方程：焦点在 x 轴，标准方程为 x²/25 + y²/9 = 1。
✅ 椭圆标准方程为 x²/25 + y²/9 = 1。
例题 2求离心率
已知椭圆 x²/25 + y²/16 = 1，求椭圆的离心率 e。
🔍 解题过程
1确定参数：a² = 25，a = 5；b² = 16，b = 4。
2求 c：c² = a² − b² = 25 − 16 = 9，c = 3。
3求离心率：e = c/a = 3/5 = 0.6。
✅ 离心率 e = 3/5 = 0.6。

🚀 拓展提升

🔍 椭圆定义的应用

利用定义解决距离问题。

  • 椭圆上点 P 恒满足 |PF₁| + |PF₂| = 2a
  • 可用来求点到焦点的距离
  • 已知一个焦半径可求另一个
  • 最大距离 a+c，最小距离 a−c

💡 焦点位置的判断

如何判断焦点在哪个轴上。

  • x² 和 y² 分母较大的轴为焦点所在轴
  • 较大的分母对应 a²
  • 焦点在分母大的坐标轴上
  • 焦点坐标 (±c, 0) 或 (0, ±c)

📐 椭圆与圆的关系

当 a = b 时椭圆变为圆。

  • a = b 时 c = 0，两焦点重合
  • 离心率 e = 0
  • 标准方程变为 x²+y²=a²（圆）
  • 圆是椭圆的特殊情况

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
椭圆 x²/9 + y²/4 = 1 的半长轴 a 和半短轴 b 为？
Aa=3, b=2
Ba=2, b=3
Ca=9, b=4
Da=√9, b=√2
第 2 题★☆☆ 基础
椭圆定义中，到两焦点距离之和 2a 与焦距 2c 的关系是？
A2a < 2c
B2a = 2c
C2a > 2c
D任意关系
第 3 题★★☆ 巩固
椭圆 x²/25 + y²/9 = 1 的焦点坐标为？
A(±3, 0)
B(±4, 0)
C(0, ±4)
D(±5, 0)
第 4 题★★☆ 巩固
椭圆 x²/9 + y²/25 = 1 的离心率 e = ?
A3/5
B4/5
C5/4
D3/4
第 5 题★★★ 拓展
已知椭圆的一个焦点为 (3, 0)，离心率 e = 3/5，则椭圆的标准方程为？
Ax²/25 + y²/16 = 1
Bx²/16 + y²/25 = 1
Cx²/9 + y²/16 = 1
Dx²/5 + y²/4 = 1

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「3.1 椭圆」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 定义：|PF₁|+|PF₂| = 2a（2a>2c）
② 标准方程：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）
③ 关系：c²=a²−b²
④ 离心率：e=c/a，0<e<1
⑤ e越接近0越圆，越接近1越扁