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第四章 · 第三节
等比数列
公比 · 通项公式 · 性质 · 前n项和

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解等比数列的概念，掌握公比的含义
  • 掌握等比数列的通项公式并能灵活运用
  • 理解等比数列的性质（等比中项、下标和性质）
  • 掌握等比数列前 n 项和公式及其推导（错位相减法）
知识点一：等比数列的定义
📐 等比数列
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，即 aₙ₊₁ / aₙ = q（常数，q ≠ 0）对任意 n ∈ N* 成立。
注意：等比数列中任一项 aₙ ≠ 0，且公比 q ≠ 0。
知识点二：通项公式
📝 通项公式
等比数列 {aₙ} 的首项为 a₁，公比为 q，则通项公式为：
aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹（n ∈ N*）
推导：aₙ / aₙ₋₁ = q，把 n-1 个比式累乘即得 aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹。
aₙ
通项
a₁·qⁿ⁻¹
q
公比
aₙ₊₁/aₙ
aₙ
任意项
aₘ·qⁿ⁻ᵐ
知识点三：等比数列的性质
⚖️ 重要性质
① 下标和性质：若 m + n = p + q（m, n, p, q ∈ N*），则 aₘ · aₙ = aₚ · aq。
② 等比中项：若 a, b, c 成等比数列，则 b² = a · c，b 称为 a, c 的等比中项（a, c 同号）。
③ 子列性质：下标成等差数列的子数列仍是等比数列。
知识点四：前 n 项和
Σ 前 n 项和公式
等比数列前 n 项和 Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ，用错位相减法推导：Sₙ 与 q·Sₙ 错位相减消去中间项。
当 q ≠ 1 时：Sₙ = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q)　或　Sₙ = a₁(qⁿ - 1) / (q - 1)
当 q = 1 时：Sₙ = n · a₁（此时为常数列）。
💡 用法与易错
  • 使用求和公式前必须先判断 q 是否等于 1
  • 已知 a₁, q, n 用求和公式；已知 a₁, aₙ, q 用 Sₙ = a₁(qⁿ-1)/(q-1)
  • 基本量法：把问题归结为求 a₁ 和 q 两个基本量
  • a, b, c 成等比 ⇔ b² = ac（且 a, c 同号，b≠0）

🎬 动画讲解

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🧪 互动实验：等比数列的图象与前n项和

💡 拖动滑块改变首项 a₁ 和公比 q，观察：q>1 项迅速增大，0<q<1 项递减趋于0，q<0 项正负交替
⚙️ 实验参数
通项公式aₙ=3·2ⁿ⁻¹
公比 q2
第 7 项 a₇192
前 7 项和 S₇381
类型递增
📋 实验结论
等比数列 aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ 的图象随 q 不同呈现不同形态：q>1 时指数式增长，0<q<1 时递减趋于 0，q=1 时为常数列，q<0 时正负交替（摆动）。前 n 项和 Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)（q≠1）。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1求通项与前n项和
等比数列 {aₙ} 中，a₁ = 3，q = 2。求 a₆ 与前 6 项和 S₆。
🔍 解题过程
1求通项：aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ = 3·2ⁿ⁻¹。
2求 a₆：a₆ = 3·2⁵ = 3×32 = 96。
3求 S₆：q≠1，S₆ = a₁(1-q⁶)/(1-q) = 3(1-2⁶)/(1-2) = 3(1-64)/(-1) = 3×63 = 189。
✅ a₆ = 96，S₆ = 189。
例题 2基本量法求未知
等比数列 {aₙ} 中，a₂ = 6，a₅ = 48。求首项 a₁ 与公比 q。
🔍 解题过程
1列式：a₂ = a₁·q = 6，a₅ = a₁·q⁴ = 48。
2求公比：两式相除得 a₅/a₂ = q³ = 48/6 = 8，故 q = 2。
3求首项：代入 a₁·q = 6 得 a₁ = 6/2 = 3。
✅ a₁ = 3，q = 2。通项公式 aₙ = 3·2ⁿ⁻¹。

🚀 拓展提升

🔍 错位相减法的思想

对 Sₙ = a₁ + a₁q + … + a₁qⁿ⁻¹，两边同乘 q 得 qSₙ = a₁q + a₁q² + … + a₁qⁿ。两式相减，中间项全部抵消，只剩 (1-q)Sₙ = a₁ - a₁qⁿ = a₁(1-qⁿ)，从而 Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)。这就是"错位相减"消中间项的巧妙之处。

💡 等比与等差的对比

等差数列是"差"恒定（加法结构），等比数列是"比"恒定（乘法结构）。取对数后，正项等比数列可转化为等差数列：若 aₙ>0 成等比，则 lg aₙ 成等差。

📐 实际应用：复利与细胞分裂

银行复利、细胞分裂、放射性衰变等都是等比数列模型。例如本金 P、利率 r，n 期后本利和为 P(1+r)ⁿ，正是首项 P、公比 (1+r) 的等比数列的第 n+1 项。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
等比数列 {aₙ} 中，a₁ = 2，q = 3，则 a₄ = ?
A18
B8
C54
D162
第 2 题★☆☆ 基础
等比数列 2, -6, 18, -54, … 的公比 q = ?
A3
B-3
C-1/3
D9
第 3 题★★☆ 巩固
4 与 16 的等比中项是？
A8
B-8
C±8
D10
第 4 题★★☆ 巩固
等比数列 {aₙ} 中，a₁ = 1，q = 2，则 S₅ = ?
A16
B31
C32
D15
第 5 题★★★ 拓展
等比数列 {aₙ} 中，a₃·a₅ = 16，则 a₄ = ?（aₙ > 0）
A4
B±4
C8
D16

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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课程完成！

恭喜你完成了「4.3 等比数列」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 定义：aₙ₊₁ / aₙ = q（常数，q≠0），各项均不为0
② 通项：aₙ = a₁·qⁿ⁻¹
③ 性质：m+n=p+q ⇒ aₘ·aₙ=aₚ·aq；b²=ac
④ 前 n 项和：q≠1 时 Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q)；q=1 时 Sₙ=na₁
⑤ 推导方法：错位相减法