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第七章 · 第二节
二项分布及其应用
n重伯努利试验 · 二项分布 · 超几何分布

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解n重伯努利试验的概念
  • 掌握二项分布 B(n,p) 的定义和概率公式
  • 了解超几何分布及其与二项分布的区别
  • 能用二项分布解决实际问题
知识点一：n重伯努利试验
🎲 n重伯努利试验
只有两个可能结果（"成功"和"失败"）的试验称为伯努利试验。将伯努利试验独立重复进行 n 次，就构成 n重伯努利试验。
特征：①每次试验只有两个结果；②各次试验相互独立；③每次"成功"的概率 p 相同。
知识点二：二项分布
📊 二项分布 B(n,p)
在n重伯努利试验中，设每次试验成功的概率为 p，X 表示n次试验中成功的次数，则：
P(X=k) = C(n,k) · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ （k = 0, 1, 2, ..., n）
称 X 服从参数为 n, p 的二项分布，记作 X ~ B(n,p)。
C(n,k)
组合数
选择k次成功
pᵏ
成功概率
k次成功
(1-p)ⁿ⁻ᵏ
失败概率
n-k次失败
知识点三：超几何分布
📦 超几何分布
总体中有 N 个个体，其中 M 个具有某特征。从中不放回地抽取 n 个，X 表示抽到具有该特征的个体数，则：
P(X=k) = C(M,k)·C(N-M,n-k) / C(N,n)
称 X 服从超几何分布。
💡 二项分布与超几何分布的区别
  • 二项分布：有放回抽样（或总体无限大），各次独立
  • 超几何分布：不放回抽样，各次不独立
  • 当 N 很大时，超几何分布近似于二项分布
  • 当 n=1 时，二项分布退化为两点分布

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：二项分布模拟器

💡 调节试验次数 n 和成功概率 p，观察二项分布柱状图的变化
⚙️ 实验参数
最可能值（众数）5
P(众数)0.246
概率之和1.000
📋 实验结论
二项分布 B(n,p) 的最可能值（众数）约为 ⌊(n+1)p⌋ 或 ⌊(n+1)p⌋-1。当 p=0.5 时分布关于 n/2 对称；当 p<0.5 时分布右偏；当 p>0.5 时分布左偏。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1二项分布概率
某射手每次命中目标的概率为0.6，连续射击4次，求恰好命中2次的概率。
🔍 解题过程
1分析：每次射击是伯努利试验，4次独立重复，X~B(4, 0.6)。
2代入公式：P(X=2) = C(4,2) × 0.6² × 0.4²
3计算：= 6 × 0.36 × 0.16 = 0.3456
✅ P(X=2) = 0.3456，即恰好命中2次的概率约为34.56%。
例题 2超几何分布
盒中有10个球，其中3个红球7个白球。从中任取4个，求恰好取到2个红球的概率。
🔍 解题过程
1分析：不放回抽样，X服从超几何分布。N=10, M=3, n=4。
2代入公式：P(X=2) = C(3,2) × C(7,2) / C(10,4)
3计算：= 3 × 21 / 210 = 63 / 210 = 3/10 = 0.3
✅ P(X=2) = 0.3，恰好取到2个红球的概率为30%。

🚀 拓展提升

🔍 二项分布与二项式定理的联系

二项分布的概率公式 P(X=k) = C(n,k)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ 正是二项式定理 (p + (1-p))ⁿ 展开式的第 k+1 项。

  • ΣP(X=k) = ΣC(n,k)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ = (p+(1-p))ⁿ = 1
  • 这验证了二项分布概率之和为1
  • 名称"二项分布"来源于二项式定理

💡 二项分布的形状特征

  • p=0.5：关于n/2对称
  • p<0.5：右偏（高峰偏左）
  • p>0.5：左偏（高峰偏右）
  • n越大，分布越接近正态分布（中心极限定理）

📐 超几何分布与二项分布的近似

当总体 N 很大、抽样比 n/N 很小时，超几何分布可用二项分布近似：H(N,M,n) ≈ B(n, M/N)。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
n重伯努利试验的特征是什么？
A每次有多个结果
B两个结果、独立、概率相同
C两个结果、不独立
D多个结果、独立
第 2 题★☆☆ 基础
X~B(3, 0.5)，则 P(X=2) = ?
A0.125
B0.375
C0.5
D0.75
第 3 题★★☆ 巩固
下列问题属于二项分布的是？
A10球中不放回取3个
B有放回地掷骰子10次看6出现次数
C测量10人的身高
D掷两枚骰子看点数和
第 4 题★★☆ 巩固
X~B(4, 0.3)，则 P(X=0) = ?
A0.3
B0.4
C0.2401
D0.7
第 5 题★★★ 拓展
X~B(n,p)，当 n=1 时，二项分布退化为？
A两点分布
B超几何分布
C正态分布
D均匀分布
第 6 题★★☆ 中等
X~B(10, 0.3)，则 E(X) = ?
A3
B7
C0.3
D10

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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课程完成！

恭喜你完成了「7.2 二项分布及其应用」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① n重伯努利试验：两个结果、独立、概率相同
② 二项分布：P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ
③ 超几何分布：不放回抽样
④ N很大时超几何分布≈二项分布