← 课程目录 第八章 成对数据的统计分析 > 8.1 成对数据的相关关系
第八章 · 第一节
成对数据的相关关系
散点图 · 相关系数 · 相关性判断

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解变量间的相关关系（不同于函数关系）
  • 会用散点图直观判断两个变量的正/负相关
  • 掌握相关系数 r 的定义、性质和计算
  • 能根据相关系数判断线性相关程度
知识点一：相关关系
📊 相关关系
两个变量之间确实存在关系，但不是确定性的关系（即不满足函数关系），这种关系称为相关关系。
例如：身高与体重、学习时间与成绩、温度与销量等。
💡 函数关系 vs 相关关系
  • 函数关系：确定性关系，y=f(x)，如 y=2x+1
  • 相关关系：非确定性关系，有统计规律但不精确
  • 函数关系是"一对一"或"多对一"，相关关系是"一对多"
  • 相关关系是统计学研究的重要内容
知识点二：散点图
📈 散点图
将成对数据 (xᵢ, yᵢ) 在坐标系中用点表示，得到的图称为散点图。
通过散点图可以直观判断两个变量的相关方向和程度。
➕➖ 正相关与负相关
① 正相关：一个变量增大，另一个变量也总体增大（散点从左下到右上）
② 负相关：一个变量增大，另一个变量总体减小（散点从左上到右下）
③ 线性相关：散点大致分布在一条直线附近
④ 非线性相关：散点呈曲线趋势
知识点三：相关系数
🔢 相关系数 r
对于 n 组数据 (xᵢ, yᵢ)，样本相关系数：
r = [Σ(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ)] / √[Σ(xᵢ-x̄)² · Σ(yᵢ-ȳ)²]
其中 x̄, ȳ 分别为 x, y 的样本均值。
|r|≤1
取值范围
-1≤r≤1
r>0
正相关
散点右上趋势
r<0
负相关
散点右下趋势
⚖️ 相关系数的性质
① |r| ≤ 1，r越接近1线性相关越强，越接近0越弱
② r=1：完全正线性相关；r=-1：完全负线性相关；r=0：无线性相关
③ 一般认为：|r|>0.75 为强相关，0.3<|r|≤0.75 为中等相关，|r|≤0.3 为弱相关

🎬 动画讲解

📢
点击「播放动画」按钮开始学习...

🧪 互动实验：相关性探索器

💡 点击画布添加数据点，观察散点图和相关系数 r 的变化
⚙️ 实验操作

点击左侧画布添加数据点

数据点数0
相关系数 r—
相关性—
📋 实验结论
相关系数 r 衡量两个变量的线性相关程度：|r|接近1为强线性相关，接近0为弱相关或不相关。r>0正相关，r<0负相关。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1判断相关性
5名学生的数学成绩x和物理成绩y如下：(80,82),(70,75),(90,88),(60,65),(85,85)。判断正负相关性并计算相关系数。
🔍 解题过程
1判断方向：数学成绩高的物理也高，总体呈正相关趋势。
2计算：x̄=77, ȳ=79。Σ(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ)=3×3+(-7)×(-4)+13×9+(-17)×(-14)+8×6=9+28+117+238+48=440。Σ(xᵢ-x̄)²=9+49+169+289+64=580。Σ(yᵢ-ȳ)²=9+16+81+196+36=338。
3代入：r = 440/√(580×338) = 440/√195960 ≈ 440/442.7 ≈ 0.994。
✅ r ≈ 0.994，强正相关。数学和物理成绩高度正相关。
例题 2相关系数的解读
某研究中算得两个变量的相关系数 r = -0.85，如何解读？
🔍 解题过程
1符号：r = -0.85 < 0，表示负相关。一个变量增大时另一个总体减小。
2强度：|r| = 0.85 > 0.75，属于强相关。两变量间线性关系显著。
3注意：相关≠因果。相关系数只说明统计上的线性关联，不能说明因果关系。
✅ r=-0.85：强负相关。一个变量增大，另一个总体减小，线性关系显著。

🚀 拓展提升

🔍 相关不等于因果

两个变量相关，并不代表一个变量的变化导致了另一个变量的变化。

  • 冰淇淋销量和溺水人数正相关，但不是因果
  • 共同原因：夏季高温
  • 判断因果需要实验设计或更深入的分析

💡 相关系数的局限性

  • 只衡量线性相关，非线性关系可能r≈0
  • 对异常值（离群点）敏感
  • 样本量太小时r不可靠
  • |r|接近1不一定是因果关系

📐 从相关到回归

当两个变量存在较强的线性相关关系时，可以进一步建立回归方程来定量描述它们的关系，并用回归方程进行预测。这就是下一节的内容。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
下列变量间是相关关系的是？
A圆的面积与半径
B人的身高与体重
C正方形周长与边长
D速度与路程（时间固定）
第 2 题★☆☆ 基础
散点图中，正相关表现为？
A从左上到右下
B从左下到右上
C水平分布
D无规律
第 3 题★★☆ 巩固
相关系数 r 的取值范围是？
A0 ≤ r ≤ 1
B-∞ < r < +∞
C-1 ≤ r ≤ 1
D0 ≤ r < +∞
第 4 题★★☆ 巩固
r = 0.9 表示什么？
A强负相关
B强正相关
C弱正相关
D不相关
第 5 题★★★ 拓展
r = 0 时，下列说法正确的是？
A两变量一定无任何关系
B两变量无"线性"相关
C两变量独立
D两变量互为因果
第 6 题★☆☆ 基础
相关系数 r 的取值范围是？
A[0, 1]
B[-1, 1]
C(0, 1)
D(-1, 1)

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「8.1 成对数据的相关关系」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 相关关系：非确定性的统计关系
② 散点图：直观判断正/负相关
③ 相关系数 r：-1≤r≤1
④ |r|越大线性相关越强；r>0正相关，r<0负相关