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第三章 · 第一节
万有引力定律
开普勒定律 · 万有引力定律 · 引力常量

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 了解开普勒行星运动定律的基本内容
  • 掌握万有引力定律的内容和公式 F = Gm₁m₂/r²
  • 知道引力常量 G 的数值和卡文迪什实验的意义
  • 理解万有引力定律的适用条件和意义
知识点一：开普勒行星运动定律
🌌 开普勒三定律
开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即 a³/T² = k。
💡 说明
  • 中学阶段常将行星轨道近似为圆轨道处理
  • 此时半长轴a用半径r代替
  • r³/T² = k，k与中心天体质量有关
  • 开普勒定律为万有引力定律的发现奠定了基础
知识点二：万有引力定律
📐 定律内容
万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m₁ 和 m₂ 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比。
公式：F = G·m₁m₂/r²
F
万有引力
N
G
引力常量
6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²
r
两物体距离
m
知识点三：引力常量
🔬 引力常量 G
引力常量 G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²
1798年，英国物理学家卡文迪什用扭秤实验首次比较精确地测量了引力常量 G 的值。卡文迪什被称为"称量地球质量的人"。
💡 重要意义
  • G的测量证明了万有引力定律的正确性
  • 使万有引力定律有了实用的价值
  • 可以计算地球等天体的质量
  • 卡文迪什实验是物理学史上的经典实验
知识点四：适用条件与意义
⚖️ 适用条件
适用条件：
① 两个质点之间的相互作用
② 两个均匀球体之间的相互作用（r 为两球心距离）
③ 质量均匀分布的球体与球外质点（r 为球心到质点距离）
💡 万有引力的特点
  • 万有引力是自然界四种基本相互作用之一
  • 万有引力存在于任何两个有质量的物体之间
  • 万有引力总是相互的（作用力与反作用力）
  • 通常物体间的万有引力很小，可以忽略，但天体间万有引力很大

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：万有引力模拟

💡 拖动滑块改变两个物体的质量和距离，观察万有引力大小的变化
⚙️ 实验参数
万有引力 F 8.34e-10 N
引力（放大显示） 8.338×10⁻¹¹ N
📋 实验结论
万有引力F=G·m₁m₂/r²，与质量乘积成正比，与距离平方成反比。质量越大引力越大，距离越远引力越小（且衰减更快）。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1 万有引力计算
两个质量分别为 50 kg 和 60 kg 的人相距 1 m，求他们之间的万有引力。（G=6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²）
🔍 解题过程
1 代入公式：F=G·m₁m₂/r²=6.67×10⁻¹¹N·m²/kg²×50kg×60kg/(1m)²。
2 计算：F=6.67×10⁻¹¹N·m²/kg²×3000kg²=2.0×10⁻⁷ N。
3 分析：这个力非常小（约2×10⁻⁷N），远小于人的体重，所以日常生活中物体间的万有引力可以忽略。
✅ 两人间万有引力约 2.0×10⁻⁷ N，非常小，可忽略。
例题 2 计算天体质量
已知地球半径 R=6.4×10⁶ m，地面重力加速度 g=9.8 m/s²，G=6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²。求地球质量。
🔍 解题过程
1 分析：地面上物体所受重力近似等于万有引力：mg=G·Mm/R²。
2 化简：g=GM/R²，所以M=gR²/G。
3 计算：M=9.8m/s²×(6.4×10⁶m)²/(6.67×10⁻¹¹N·m²/kg²)=9.8×4.096×10¹³/(6.67×10⁻¹¹)≈6.0×10²⁴ kg。
✅ 地球质量约 6.0×10²⁴ kg。

🚀 拓展提升

🔍 "黄金代换"公式

在地球表面附近，物体所受重力近似等于万有引力，这是重要的近似关系。

  • mg = GMm/R²
  • 化简得 g = GM/R²
  • 即 GM = gR²（黄金代换）
  • 用于无法知道G和M时，用g和R代替GM

💡 开普勒第三定律的应用

由万有引力等于向心力，可以推导出开普勒第三定律。

  • GMm/r² = m(2π/T)²r
  • 化简得 r³/T² = GM/(4π²) = k
  • k值由中心天体质量M决定
  • 同一中心天体的所有卫星k值相同

🌌 万有引力与重力

重力是万有引力的一个分力。在地球表面，万有引力分解为重力和随地球自转的向心力。

  • 赤道：重力最小，g最小
  • 两极：重力最大，g最大
  • 通常忽略自转影响，认为重力≈万有引力
  • 高度越大，重力加速度g越小

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
万有引力定律的公式是？
AF = G·m₁m₂/r
BF = G·m₁m₂/r²
CF = G·m₁+m₂/r²
DF = G·r²/(m₁m₂)
第 2 题 ★☆☆ 基础
引力常量G的值和测定者是？
A6.67×10⁻¹¹，牛顿
B6.67×10⁻¹¹，卡文迪什
C9.8，卡文迪什
D6.67×10⁻¹¹，开普勒
第 3 题 ★★☆ 巩固
关于万有引力，下列说法正确的是？
A只有天体之间才有万有引力
B任何两个有质量的物体间都有万有引力
C万有引力与物体距离成正比
D万有引力是接触力
第 4 题 ★★☆ 巩固
两个物体间的距离增大为原来的2倍，则万有引力变为原来的？
A1/2
B1/4
C1/8
D2倍
第 5 题 ★★★ 拓展
地球表面重力加速度为g，若某处距地心距离为2R（R为地球半径），该处重力加速度约为？
Ag/2
Bg/4
Cg/8
D2g

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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课程完成！

恭喜你完成了「3.1 万有引力定律」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 开普勒三定律：轨道(椭圆)、面积、周期(a³/T²=k)
② 万有引力定律 F=G·m₁m₂/r²
③ G=6.67×10⁻¹¹，卡文迪什扭秤实验测定
④ 适用：质点间、均匀球体间
⑤ 黄金代换 GM=gR²