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第一章 · 第三节
带电粒子在磁场中的运动
匀速圆周运动 · 半径与周期公式 · 质谱仪 · 回旋加速器

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解带电粒子垂直射入匀强磁场做匀速圆周运动
  • 掌握轨道半径公式 r = mv/(qB)
  • 掌握运动周期公式 T = 2πm/(qB)
  • 了解质谱仪和回旋加速器的原理
  • 能用公式解决实际问题
知识点一：匀速圆周运动
⚡ 运动特点
当带电粒子垂直射入匀强磁场时，洛伦兹力方向始终垂直于速度方向，且大小不变。洛伦兹力提供向心力，粒子做匀速圆周运动。
由于洛伦兹力不做功，粒子的速率不变，只有方向不断改变。
知识点二：轨道半径
轨道半径
r
r = mv / (qB)
单位：m（米）
📐 推导过程
洛伦兹力提供向心力：qvB = mv²/r
解得：r = mv/(qB)
半径与速度 v 成正比，与磁感应强度 B 成反比，与比荷 q/m 成反比。
知识点三：运动周期
运动周期
T
T = 2πm / (qB)
单位：s（秒）
💡 重要结论
  • 周期 T = 2πm/(qB)，与速度无关，只与比荷 q/m 和磁感应强度 B 有关
  • 速度越大，半径越大，但周期不变（绕的圈大但跑得快）
  • 这是回旋加速器能持续加速的理论基础
  • 回旋频率 f = qB/(2πm) = 1/T
知识点四：质谱仪与回旋加速器
🔬 质谱仪
质谱仪利用电场加速 + 磁场偏转测量带电粒子的比荷 q/m。经电压 U 加速后（qU = ½mv²），进入磁场偏转，偏转半径 r = √(2mU/q)/B，比荷不同的粒子偏转半径不同。
⚙️ 回旋加速器
回旋加速器利用交变电场加速粒子，磁场使粒子做圆周运动。由于周期与速度无关，交变电场频率恒定（等于回旋频率）即可持续加速。粒子最大动能由 D 形盒半径 R 决定：Ek = q²B²R²/(2m)。

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：带电粒子圆周运动模拟

💡 拖动滑块改变速度 v、磁感应强度 B，观察轨道半径 r 和周期 T 的变化
⚙️ 实验参数
轨道半径 r 3.13 mm
运动周期 T 1.31 ×10⁻⁷ s
周期与速度关系 无关
📋 实验结论
轨道半径 r = mv/(qB)，与速度 v 成正比，与 B 和 q/m 成反比。运动周期 T = 2πm/(qB)，与速度无关，只与比荷和磁感应强度有关。速度增大半径增大但周期不变，这是回旋加速器的理论基础。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1 轨道半径计算
一个质子（质量 m=1.67×10⁻²⁷kg，电荷量 q=1.6×10⁻¹⁹C）以速度 v=3×10⁶m/s 垂直射入 B=0.5T 的匀强磁场中。求质子的轨道半径和运动周期。
🔍 解题过程
1 求半径：r = mv/(qB) = 1.67×10⁻²⁷kg × 3×10⁶m/s / (1.6×10⁻¹⁹C × 0.5T)
2 计算半径：r = 5.01×10⁻²¹kg·m/s / 8×10⁻²⁰C·T ≈ 0.0626 m ≈ 6.3 cm
3 求周期：T = 2πm/(qB) = 2×3.14×1.67×10⁻²⁷kg / (1.6×10⁻¹⁹C × 0.5T) ≈ 1.31×10⁻⁷ s
✅ 轨道半径 r ≈ 6.3cm，运动周期 T ≈ 1.31×10⁻⁷s。注意周期与速度无关。
例题 2 质谱仪测比荷
在质谱仪中，带电粒子经加速电压 U=2000V 加速后，垂直进入 B=0.1T 的匀强磁场偏转，测得偏转半径 r=0.2m。求粒子的比荷 q/m。
🔍 解题过程
1 加速过程：qU = ½mv²，得 v = √(2qU/m)
2 偏转半径：r = mv/(qB)，代入 v 得 r = √(2mU/q)/B，即 r²B² = 2mU/q
3 求比荷：q/m = 2U/(r²B²) = 2×2000V / (0.04m²×0.01T²) = 1×10⁷ C/kg
✅ 粒子的比荷 q/m = 1×10⁷ C/kg。质谱仪正是利用此原理测量粒子的比荷。

🚀 拓展提升

⚙️ 回旋加速器

回旋加速器由两个 D 形金属盒组成，置于匀强磁场中。两盒间加交变电场，粒子每次经过缝隙时被电场加速。由于周期与速度无关，交变电场频率恒定即可持续加速。

粒子最大速度对应最大轨道半径 R：vmax = qBR/m，最大动能 Ek = q²B²R²/(2m)。增大 D 形盒半径 R 或磁感应强度 B 可提高最大动能，与加速电压无关。

🔬 质谱仪

质谱仪利用电场加速 + 磁场偏转测量带电粒子的比荷。经相同电压加速后，质量不同的粒子偏转半径不同，在底片上留下不同位置的痕迹，从而分析粒子的质量和比荷。广泛应用于同位素分析。

🌊 电磁流量计

电磁流量计利用洛伦兹力原理测量导电液体的流速。导电液体流过磁场时，正负离子受洛伦兹力偏转，在管壁两侧积累产生电势差 U。稳定时 v = U/(Bd)，测出 U 即可算出流速和流量。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
带电粒子垂直射入匀强磁场做？
A抛物线
B直线
C椭圆
D匀速圆周
第 2 题 ★★☆ 巩固
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期 T 与什么无关？
A质量
B磁感应强度
C速度大小
D电荷量
第 3 题 ★★☆ 巩固
带电粒子（电荷量 q，质量 m）以速度 v 垂直射入磁感应强度为 B 的匀强磁场中，做匀速圆周运动的半径为？
Amv / (qB)
BqB / (mv)
CmvB / q
Dqv / (mB)
第 4 题 ★★★ 拓展
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期 T 为？
A2πm / (qB)
B2πq / (mB)
Cmv / (qB)
DqB / (2πm)
第 5 题 ★★★ 拓展
回旋加速器中，粒子最终动能由什么决定？
A电场频率
B粒子质量
CD 形盒的半径
D加速电压

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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课程完成！

恭喜你完成了「带电粒子在磁场中的运动」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 垂直射入匀强磁场 → 匀速圆周运动（洛伦兹力提供向心力）
② 轨道半径：r = mv/(qB)，与 v 成正比
③ 运动周期：T = 2πm/(qB)，与速度无关
④ 质谱仪：电场加速+磁场偏转，测比荷
⑤ 回旋加速器：周期与速度无关，最大动能由 D 形盒半径决定