← 课程目录 第五章 不等式与不等式组 > 5.2 一元一次不等式
第五章 · 第二节
一元一次不等式
解法步骤与数轴表示

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解一元一次不等式的概念
  • 掌握一元一次不等式的解法步骤
  • 能将解集在数轴上正确表示
  • 能求一元一次不等式的特殊解（如正整数解）
知识点一：一元一次不等式的概念
📐 定义
含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。
💡 识别要点
① 只含一个未知数　② 未知数最高次数为 1　③ 两边都是整式
例如：2x − 3 > 5 是一元一次不等式；x² + 1 > 0 不是（次数为2）。
知识点二：解法步骤
  1. 去分母：不等式两边同乘各分母的最小公倍数（注意：若乘负数，不等号变号！）
  2. 去括号：注意括号前是负号时，括号内各项变号
  3. 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边（移项变号）
  4. 合并同类项：将同类项合并
  5. 系数化为 1：两边同除以未知数的系数（注意：除以负数时，不等号方向改变！）
⚠️ 最易出错的一步
在去分母和系数化为1时，如果乘或除的是负数，不等号方向必须改变！
例如：−2x > 6，两边除以 −2，得 x < −3（不是 x > −3！）
知识点三：解集的数轴表示
📐 规则
≤ 或 ≥：画实心圆点（包含端点）
< 或 >：画空心圆圈（不包含端点）
大于向右画射线，小于向左画射线

🎬 动画讲解

📢
点击「播放动画」按钮开始学习...

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1 解简单一元一次不等式
解不等式 3x − 5 > 4，并在数轴上表示解集。
3x − 5 > 4
🔍 解题过程
1 移项：将 −5 移到右边变成 +5：3x > 4 + 5，即 3x > 9。
2 系数化为1：两边同除以 3（正数，不变号）：x > 3。
3 数轴表示：在 3 处画空心圆圈（无等号），向右画射线。解集为 x > 3。
✅ 解集为 x > 3（空心圈在3，向右）
例题 2 解含分母的一元一次不等式
解不等式 (x − 1)/2 ≤ (2x + 1)/3，并在数轴上表示解集。
(x − 1) / 2 ≤ (2x + 1) / 3
🔍 解题过程
1 去分母：两边同乘 6（分母2和3的最小公倍数，正数不变号）：3(x − 1) ≤ 2(2x + 1)。
2 去括号、移项、合并：展开得 3x − 3 ≤ 4x + 2，移项得 3x − 4x ≤ 2 + 3，合并得 −x ≤ 5。
3 系数化为1（变号！）：两边同除以 −1（负数，不等号变号）：x ≥ −5。数轴上画实心点在 −5，向右。
✅ 解集为 x ≥ −5（实心点在−5，向右）
例题 3 求一元一次不等式的正整数解
求不等式 2x + 1 < 10 的正整数解。
2x + 1 < 10
🔍 解题过程
1 解不等式：移项得 2x < 10 − 1，即 2x < 9，两边除以 2 得 x < 4.5。
2 确定范围：x < 4.5，且要求正整数解，所以 x 可以是 1, 2, 3, 4。
3 验证：x=4: 2×4+1=9 < 10 ✓；x=5: 2×5+1=11 < 10 ✗。所以正整数解为 1, 2, 3, 4。
✅ 正整数解为 x = 1, 2, 3, 4

🚀 拓展提升

📋 一元一次不等式与一元一次方程解法对比

解题步骤 一元一次方程 一元一次不等式
去分母 两边同乘最小公倍数 同左（乘负数时变号）
去括号 注意符号变化 同左
移项 移项变号 同左（不等号不变）
合并同类项 合并系数 同左
系数化为1 两边除以系数 除以负数时变号！
解的形式 x = a（一个值） x > a / x < a 等（一个范围）

核心差异：不等式在乘除负数时要变号，方程不需要。另外不等式的解是一个范围，方程的解是一个具体值。

⚠️ 常见错误分析

  • 错误1：系数化为1时，除以负数忘记变号
    如：−2x > 6 → x > −3（错！应为 x < −3）
  • 错误2：去分母时漏乘不含分母的项
    如：(x/2) + 1 > 0，去分母应得 x + 2 > 0，不是 x + 1 > 0
  • 错误3：去括号时，括号前是负号，括号内忘记变号
    如：−(x − 3) = −x + 3，不是 −x − 3
  • 错误4：数轴上 ≤ / ≥ 画空心圈，< / > 画实心点（搞反了）

🔑 解题口诀

去分母，去括号，移项合并步步到；
系数化1看正负，乘除负数要变号！

每一步都要仔细，特别是最后一步系数化为1时，一定要看清除以的是正数还是负数。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
下列各式中，是一元一次不等式的是？
A2x − 3 > 5
Bx² + 1 > 0
C2x − 3 = 5
Dx + y > 5
第 2 题 ★★☆ 巩固
解不等式 −2x > 6，得？
Ax > −3
Bx < −3
Cx > 3
Dx < 3
第 3 题 ★★☆ 巩固
解不等式 3x − 5 < 4x − 2，得 x ______（填「>」或「<」某个数，例如：>-3）
第 4 题 ★☆☆ 基础
不等式 x + 2 ≤ 5 的正整数解有？
A0, 1, 2, 3
B1, 2, 3
C1, 2, 3, 4
D2
第 5 题 ★★☆ 巩固
解不等式 (2x − 1)/3 ≤ 3，得 x ______（填「>」或「<」或「≥」或「≤」某个数）

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「一元一次不等式」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 一元一次不等式：含一个未知数，次数为1
② 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并→系数化为1
③ 乘除负数时，不等号方向必须改变！
④ 数轴表示：≤/≥画实心点，</>画空心圈
⑤ 解是一个范围，可求特殊解（如正整数解）

✏️ 做练习题