第五章 · 第一节

方程

方程的概念、等式的基本性质

📖 知识点学习

🎯 学习目标

理解方程的概念，能判断一个式子是否为方程
掌握等式的基本性质，能利用等式性质对方程变形
了解一元一次方程的特征，能正确识别

知识点一：方程的概念

📐 方程的定义

含有未知数的等式叫做方程。

如 2x + 3 = 7

含有未知数 x，又是等式 → 是方程

知识点二：方程的解

📐 方程的解

使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
如 x = 2 使 2x + 3 = 7 左右两边相等，所以 x = 2 是方程的解。

知识点三：一元一次方程

📐 一元一次方程

只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是 1的方程。

如 3x − 1 = 8

一个未知数 x，次数为 1 → 一元一次方程

知识点四：等式的基本性质

性质 1

等式两边同加（或同减）同一个数或式子，结果仍相等。

若 a = b，则 a ± c = b ± c

性质 2

等式两边同乘（或同除以）同一个不为 0 的数，结果仍相等。

若 a = b，则 ac = bc，a/c = b/c (c≠0)

💡 易错提示

方程一定是等式，但等式不一定是方程——方程必须含有未知数！

判断方程两条件缺一不可：① 含未知数；② 是等式
运用性质 2 时，除数不能为 0
等式两边同加（减、乘、除）的必须是同一个数

🎬 动画讲解：方程与等式性质

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 检验方程的解

检验 x = 3 是否是方程 2x + 1 = 7 的解。

🔍 解题过程

1 代入左边：把 x = 3 代入方程左边，2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7。

2 看右边：方程右边 = 7。

3 比较两边：左边 = 7 = 右边，左右两边相等，所以 x = 3 是方程的解。

✅ x = 3 是方程 2x + 1 = 7 的解

例题 2 用等式性质解方程

利用等式的基本性质解方程：x − 5 = 8

🔍 解题过程

1 运用性质 1：两边同加 5，得 x − 5 + 5 = 8 + 5。

2 化简：x = 13。

3 验证：把 x = 13 代入，13 − 5 = 8 ✓，与右边相等，解正确。

✅ x = 13

例题 3 用等式性质解方程

利用等式的基本性质解方程：3x = 12

🔍 解题过程

1 运用性质 2：两边同除以 3，得 3x ÷ 3 = 12 ÷ 3。

2 化简：x = 4。

3 验证：把 x = 4 代入，3 × 4 = 12 ✓，与右边相等，解正确。

✅ x = 4

🚀 拓展提升

🔍 方程思想的本质

方程是一种重要的数学思想：用等式关系描述未知与已知之间的联系。把未知的量用字母（未知数）表示，再根据等量关系列出方程，通过变形求出未知数，这就是方程思想。

设未知数找等量关系列方程解方程

🔗 等式性质的应用

等式的基本性质是解方程的理论基础。性质 1 对应"移项"的原理，性质 2 对应"系数化为 1"的原理。后续学习解一元一次方程的每一步变形，都能用等式性质来解释。

性质 1 → 移项；性质 2 → 系数化为 1

🧠 一元一次方程的三个特征

判断一个方程是否为一元一次方程，抓住三个特征，缺一不可：

① 是等式 ② 只含一个未知数（一元） ③ 未知数次数为 1（一次）

💡 注意：分母中含未知数的方程（如 1/x = 2）不是一元一次方程，因为它是分式方程而非整式方程。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

下列式子中，是方程的是？

A3 + 2 = 5

Bx + 3

C2x − 1 = 5

Dx > 3

第 2 题 ★★☆ 巩固

下列方程中，是一元一次方程的是？

Ax² + 1 = 0

Bx + y = 3

C3x − 1 = 8

D1/x = 2

第 3 题 ★☆☆ 基础

方程 x + 4 = 10 的解是 x = ______。

第 4 题 ★★☆ 巩固

根据等式的基本性质：若 a = b，则 a − 3 = ______。

第 5 题 ★★☆ 巩固

检验 x = 2 是否是方程 3x − 1 = 5 的解？

A是

B不是

C无法确定

D有两个解

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

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课程完成！

恭喜你完成了「方程」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 方程：含有未知数的等式（含未知数 + 是等式，缺一不可）
② 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值
③ 一元一次方程：一个未知数、次数为 1 的方程
④ 等式性质 1：两边同加（减）同一个数，结果仍相等
⑤ 等式性质 2：两边同乘（除以）同一个不为 0 的数，结果仍相等