21.2 解一元二次方程 - 动画互动课程

第二十一章 · 第二节

解一元二次方程

掌握配方法、公式法、因式分解法三种解法

📖 知识点学习

🎯 学习目标

掌握配方法解一元二次方程的步骤，能正确配方
理解一元二次方程求根公式的推导，熟练运用公式法
理解判别式 Δ 的意义，能根据 Δ 判断根的情况
掌握因式分解法解一元二次方程，能根据方程特点选择合适方法

知识点一：配方法

📐 配方法

通过配方，把一元二次方程化为 (x + m)² = n（n ≥ 0）的形式，再通过直接开平方求解的方法，叫做配方法。

配方的关键：加上一次项系数一半的平方

对于 x² + px，配方后得 x² + px + (p/2)² = (x + p/2)²

💡 配方法步骤

移项：将常数项移到等号右边
配方：等号两边同加上一次项系数一半的平方
开方：对 (x + m)² = n 两边开平方
求解：解两个一元一次方程

知识点二：公式法

📐 求根公式

对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），当 b² - 4ac ≥ 0 时，其求根公式为：

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

求根公式适用于所有一元二次方程

📊 判别式 Δ

把 Δ = b² - 4ac 叫做一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根的判别式。根据 Δ 的值可以判断方程根的情况：

判别式	根的情况	根的个数
Δ > 0	有两个不等的实数根	2 个
Δ = 0	有两个相等的实数根（重根）	1 个（重根）
Δ < 0	没有实数根	0 个

知识点三：因式分解法

📐 因式分解法

先将一元二次方程的一边化为 0，另一边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式分别等于 0，从而求出方程的解的方法。

若 AB = 0，则 A = 0 或 B = 0

因式分解法的依据：两个因式的积为0，至少一个为0

💡 常见因式分解方法

提取公因式法：如 x² - 4x = x(x - 4)
十字相乘法：如 x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
平方差公式：如 x² - 9 = (x + 3)(x - 3)
完全平方公式：如 x² + 6x + 9 = (x + 3)²

知识点四：根据特点选择方法

方程特点	推荐方法	示例
一边为0，另一边易分解	因式分解法	x² - 5x + 6 = 0
缺少一次项或易配方	配方法	x² + 6x - 7 = 0
不易分解也不易配方	公式法	2x² - 3x - 1 = 0
任何一元二次方程	公式法（通用）	ax² + bx + c = 0

🎬 动画讲解

📢

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 用配方法解方程

用配方法解方程：x² + 6x - 7 = 0

🔍 解题过程

1 移项：将常数项移到右边：
x² + 6x = 7

2 配方：一次项系数为 6，一半为 3，平方为 9。两边同加 9：
x² + 6x + 9 = 7 + 9
(x + 3)² = 16

3 开方求解：两边开平方：
x + 3 = ±4
x = -3 + 4 = 1 或 x = -3 - 4 = -7

✅ x₁ = 1，x₂ = -7

例题 2 用公式法解方程

用公式法解方程：2x² - 3x - 1 = 0

🔍 解题过程

1 确定系数：a = 2，b = -3，c = -1

2 计算判别式：
Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4×2×(-1) = 9 + 8 = 17 > 0
所以方程有两个不等的实数根。

3 代入求根公式：
x = (-b ± √Δ) / (2a) = (3 ± √17) / 4
x₁ = (3 + √17) / 4，x₂ = (3 - √17) / 4

✅ x₁ = (3 + √17) / 4，x₂ = (3 - √17) / 4

例题 3 用因式分解法解方程

用因式分解法解方程：x² - 4x = 0

🔍 解题过程

1 提取公因式：方程右边已经是 0，左边提取公因式 x：
x(x - 4) = 0

2 令各因式为 0：因为两个因式的积为 0，至少有一个为 0：
x = 0 或 x - 4 = 0

3 求解：
x₁ = 0，x₂ = 4
注意：不要漏掉 x = 0 这个根！不要两边同时除以 x。

✅ x₁ = 0，x₂ = 4（注意：不能两边除以 x，否则会漏根）

🚀 拓展提升

🔀 三种解法的比较与选择策略

方法	优点	缺点	适用场景
因式分解法	简便快捷	并非所有方程都能分解	方程易分解时首选
配方法	推导公式的基础	计算量较大	一次项系数为偶数时较方便
公式法	通用，适用于所有方程	计算量可能较大	不易分解时使用

📋 选择策略

1. 首先观察方程是否能因式分解，若能则优先使用因式分解法

2. 若不易分解，再看是否能配方（一次项系数为偶数时较方便）

3. 若以上两种方法都不方便，则使用公式法

4. 公式法是万能方法，但需要先计算判别式 Δ 判断根的情况

📐 韦达定理（根与系数的关系）

如果一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个根为 x₁ 和 x₂，那么：

x₁ + x₂ = -b/a x₁ · x₂ = c/a

两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数
两根之积等于常数项与二次项系数的比值
韦达定理的前提是方程必须有实数根（Δ ≥ 0）

💡 例如：方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根 x₁=2, x₂=3，验证：x₁+x₂=5=-(-5)/1 ✓，x₁·x₂=6=6/1 ✓

⚠️ 解方程的注意事项

不能随意约去含未知数的因式：如 x² - 4x = 0，不能两边除以 x，否则漏掉 x = 0 的根
配方时两边必须同时加：等号两边同加上一次项系数一半的平方
使用公式法前必须化一般形式：确保 a、b、c 的符号正确
开平方时注意 ± 号：(x + m)² = n 的解是 x = -m ± √n

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

用因式分解法解方程 x² - 7x + 12 = 0，下列分解正确的是？

A(x - 3)(x - 4) = 0

B(x - 3)(x + 4) = 0

C(x + 3)(x - 4) = 0

D(x + 3)(x + 4) = 0

第 2 题 ★★☆ 巩固

填空：用配方法解方程 x² - 6x + 5 = 0，配方后得到 (x - __)² = __，则较大根为 x = ____（三个值用逗号分隔）

第 3 题 ★★☆ 巩固

方程 2x² + 3x - 1 = 0 的判别式 Δ 的值是？

A17

B1

C-17

D25

第 4 题 ★★☆ 巩固

填空：方程 x² - 6x + 9 = 0 的根是 x = ______。

第 5 题 ★★★ 拓展

若方程 x² + 5x - 6 = 0 的两根为 x₁ 和 x₂，根据韦达定理，x₁ + x₂ 的值是？

A-5

B5

C-6

D6

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

🎉

课程完成！

恭喜你完成了「解一元二次方程」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 配方法：化为 (x+m)²=n 的形式再开方
② 公式法：x=(-b±√Δ)/(2a)，Δ=b²-4ac
③ Δ>0 两不等根，Δ=0 两相等根，Δ<0 无实根
④ 因式分解法：化为 (x-p)(x-q)=0 再令各因式为0
⑤ 韦达定理：x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a

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