← 课程目录 第二十四章 圆 > 24.1 圆的有关性质
第二十四章 · 第一节
圆的有关性质
探索圆的基本要素与重要定理

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解圆的定义及圆心、半径、弦、弧、圆心角、圆周角等概念
  • 掌握垂径定理及其推论，能运用其求弦长和半径
  • 掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理
  • 掌握圆周角定理及其推论，能进行角度计算
知识点一：圆的定义与基本要素
⭕ 圆的定义
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 的长度叫做半径。
  • 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。
  • 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。
  • 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
  • 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
知识点二：垂径定理
📐 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
即：若直径 CD ⊥ 弦 AB 于点 M，则 AM = BM，且 AC = BC，AD = BD。
在 Rt△OMA 中：OM² + AM² = OA²（即 r² = d² + (AB/2)²）
d 为圆心到弦的距离，r 为半径，AB 为弦长
知识点三：圆心角、弧、弦的关系
🔗 关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
同理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等。
知识点四：圆周角定理
📐 圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）。

🎬 动画讲解

📢
点击「播放动画」按钮开始学习...

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1 利用垂径定理求弦长
在 ⊙O 中，直径 CD ⊥ 弦 AB，垂足为 M。已知半径 r = 5，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM = 3，求弦 AB 的长。
r = 5，OM = 3，求 AB
🔍 解题过程
1 分析条件：直径 CD ⊥ 弦 AB，由垂径定理，M 是 AB 的中点，即 AM = AB/2。
2 构造直角三角形：连接 OA，在 Rt△OMA 中，OA = r = 5，OM = 3，由勾股定理：AM² = OA² − OM² = 25 − 9 = 16。
3 求弦长：AM = √16 = 4，所以 AB = 2 × AM = 2 × 4 = 8。
✅ AB = 8
例题 2 利用圆周角定理求角度
在 ⊙O 中，圆心角 ∠AOB = 80°，点 C 在圆上（C 不与 A、B 重合），求弧 AB 所对的圆周角 ∠ACB 的度数。
∠AOB = 80°，求 ∠ACB
🔍 解题过程
1 确定定理：∠AOB 是弧 AB 所对的圆心角，∠ACB 是弧 AB 所对的圆周角。
2 应用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即 ∠ACB = ½∠AOB。
3 计算：∠ACB = ½ × 80° = 40°。
✅ ∠ACB = 40°
例题 3 直径所对的圆周角是直角的应用
在 ⊙O 中，AB 是直径，C 是圆上一点（C 不与 A、B 重合），已知 AC = 6，BC = 8，求 ⊙O 的半径。
AB 为直径，AC = 6，BC = 8，求 r
🔍 解题过程
1 应用推论：因为 AB 是直径，由圆周角定理推论，∠ACB = 90°，即 △ACB 是直角三角形。
2 求直径：在 Rt△ACB 中，AB 是斜边，由勾股定理：AB² = AC² + BC² = 36 + 64 = 100，所以 AB = 10。
3 求半径：半径 r = AB/2 = 10/2 = 5。
✅ r = 5

🚀 拓展提升

🔄 圆内接四边形的性质

如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。圆内接四边形有一个重要性质：

圆内接四边形的对角互补：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°

这个性质在角度计算中非常实用。若已知圆内接四边形的一个角，就可以直接求出它的对角。

🔗 圆心角、弧、弦关系定理的深化

在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间存在一一对应关系：

① 相等的圆心角 ⟺ 所对的弧相等 ⟺ 所对的弦相等；
② 这个关系可以看作"等量代换"的桥梁，由一组量相等推出其余各组量相等。

∠AOB = ∠COD ⟺ AB(弧) = CD(弧) ⟺ AB(弦) = CD(弦)

📐 垂径定理的推论

垂径定理有多个重要推论，它们可以视为垂径定理的逆用：

① 平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并平分弦所对的两条弧；
② 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；
③ 弦的垂直平分线经过圆心。
这些推论在证明和计算中都非常重要。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
下列说法正确的是？
A直径是圆中最短的弦
B直径是圆中最长的弦
C弧就是半圆
D圆心角的顶点在圆上
第 2 题 ★★☆ 巩固
在 ⊙O 中，直径 CD ⊥ 弦 AB 于点 M，AB = 8，OM = 3，则 ⊙O 的半径 r = ?
A3
B5
C4
D7
第 3 题 ★★☆ 巩固
在 ⊙O 中，圆心角 ∠AOB = 100°，则弧 AB 所对的圆周角 ∠ACB = ______ 度。
第 4 题 ★★☆ 巩固
AB 是 ⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BAC = 30°，则 ∠ABC = ?
A30°
B60°
C90°
D45°
第 5 题 ★★★ 拓展
圆内接四边形 ABCD 中，∠A : ∠C = 2 : 3，则 ∠C = ______ 度。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「圆的有关性质」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 圆的定义：线段OA绕端点O旋转一周，端点A的轨迹
② 弦：连接圆上两点的线段；弧：圆上两点间的部分
③ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及所对两条弧
④ 关系定理：同圆等圆中，等圆心角 ⟺ 等弧 ⟺ 等弦
⑤ 圆周角定理：圆周角 = ½ 圆心角；直径所对圆周角 = 90°

✏️ 做练习题