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第二十四章 · 第四节
弧长和扇形面积
从圆周长到弧长，从圆面积到扇形面积

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 掌握弧长公式 l = nπr/180，能进行弧长计算
  • 掌握扇形面积公式 S = nπr²/360 = ½lr，能进行面积计算
  • 理解圆锥的侧面展开图是扇形
  • 掌握圆锥侧面积和全面积的计算公式
知识点一：弧长公式
📏 弧长的推导
圆的周长公式 C = 2πr，对应的圆心角是 360°。
当圆心角为 n° 时，弧长占圆周长的 n/360，所以：
l = (n/180) × πr，即 l = nπr/180。
l = nπr / 180
n 为圆心角度数，r 为半径，l 为弧长
知识点二：扇形面积公式
📐 扇形面积的推导
圆的面积 S = πr²，对应的圆心角是 360°。
当圆心角为 n° 时，扇形面积占圆面积的 n/360，所以：
S = nπr²/360。
又因为 l = nπr/180，代入可得 S = ½lr。
S = nπr² / 360 = ½ × l × r
两个公式等价，已知弧长时用 S = ½lr 更方便
知识点三：圆锥的侧面展开图
🔺 圆锥与扇形
圆锥的侧面展开图是一个扇形。
扇形的半径等于圆锥的母线长 l（即圆锥顶点到底面圆周的距离）；
扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长（2πr，r 为底面半径）。
知识点四：圆锥的侧面积和全面积
圆锥侧面积
S侧 = πrl
圆锥全面积
S全 = πrl + πr²
💡 公式关系
圆锥侧面积 S侧 = ½ × (底面周长) × 母线 = ½ × 2πr × l = πrl。
全面积 = 侧面积 + 底面积 = πrl + πr²。

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1 求弧长
在 ⊙O 中，半径 r = 6，圆心角 n = 120°，求该圆心角所对的弧长 l。（结果保留 π）
r = 6，n = 120°，求弧长 l
🔍 解题过程
1 确定公式：弧长公式 l = nπr/180，其中 n = 120，r = 6。
2 代入计算：l = 120 × π × 6 / 180 = 720π / 180 = 4π。
3 验证：120° 是 360° 的 1/3，所以弧长也是圆周长的 1/3。圆周长 = 2π × 6 = 12π，1/3 × 12π = 4π ✓。
✅ l = 4π
例题 2 求扇形面积
已知扇形的半径 r = 8，圆心角 n = 90°，求扇形的面积 S。（结果保留 π）
r = 8，n = 90°，求扇形面积 S
🔍 解题过程
1 方法一（直接用公式）：S = nπr²/360 = 90 × π × 64 / 360 = 5760π / 360 = 16π。
2 方法二（先求弧长再用 S = ½lr）：弧长 l = nπr/180 = 90 × π × 8 / 180 = 4π，S = ½ × 4π × 8 = 16π。
3 验证：90° 是 360° 的 1/4，扇形面积是圆面积的 1/4。圆面积 = π × 64 = 64π，1/4 × 64π = 16π ✓。两种方法结果一致。
✅ S = 16π
例题 3 求圆锥侧面积
一个圆锥的底面半径 r = 3，母线长 l = 5，求该圆锥的侧面积和全面积。（结果保留 π）
底面半径 r = 3，母线 l = 5，求 S侧 和 S全
🔍 解题过程
1 求侧面积：圆锥侧面积 S侧 = πrl = π × 3 × 5 = 15π。
2 求底面积：底面积 S底 = πr² = π × 9 = 9π。
3 求全面积：S全 = S侧 + S底 = 15π + 9π = 24π。
✅ S侧 = 15π，S全 = 24π

🚀 拓展提升

📐 弓形面积的计算

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。弓形面积的计算是扇形面积与三角形面积的差或和。

弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积（弧小于半圆时）

当弓形的弧小于半圆时：S弓 = S扇 − S△OAB；
当弓形的弧大于半圆时：S弓 = S扇 + S△OAB；
当弓形的弧等于半圆时：S弓 = S扇 = ½πr²（三角形面积为 0）。
关键是正确判断弓形弧与半圆的大小关系，选择加还是减。

🔄 扇形与三角形面积的综合

许多面积问题需要将扇形与三角形组合分析：

① 重叠部分面积 = 扇形面积 − 三角形面积；
② 阴影部分面积常通过"割补法"或"等积变换"转化为扇形与三角形的面积之差；
③ 注意利用特殊角（30°、45°、60°、90°）的三角函数值简化计算。

S阴影 = S扇形 − S三角形（常见模式）

📐 圆锥展开图的深入理解

圆锥侧面展开图是扇形，理解以下对应关系是关键：

① 扇形半径 = 圆锥母线长 l；
② 扇形弧长 = 圆锥底面圆周长 2πr；
③ 由 l = nπl/180 = 2πr，可得展开图扇形的圆心角 n = 360r/l。
这个公式可以由底面半径和母线长求出展开图的圆心角。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
在半径为 5 的圆中，60° 的圆心角所对的弧长是？（结果保留 π）
Aπ
B5π/3
C5π
D10π
第 2 题 ★☆☆ 基础
扇形的弧长公式是？
Al = nπr/360
Bl = nπr/180
Cl = 2πr
Dl = πr²
第 3 题 ★★☆ 巩固
已知扇形的半径 r = 6，弧长 l = 2π，则该扇形的面积 S = ______ 。（结果保留 π）
第 4 题 ★★☆ 巩固
圆锥的底面半径 r = 4，母线长 l = 6，则圆锥的侧面积是？（结果保留 π）
A16π
B24π
C36π
D40π
第 5 题 ★★★ 拓展
一个扇形的半径 r = 4，圆心角 n = 90°，则该扇形的面积 S = ______ 。（结果保留 π）

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「弧长和扇形面积」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 弧长公式：l = nπr/180（n为圆心角，r为半径）
② 扇形面积：S = nπr²/360 = ½lr
③ 圆锥侧面展开图是扇形，半径=母线l，弧长=底面周长2πr
④ 圆锥侧面积：S侧 = πrl
⑤ 圆锥全面积：S全 = πrl + πr²

✏️ 做练习题