2.1 平方根 - 动画互动课程

第二章 · 第一节

平方根

算术平方根与平方根的概念

📖 知识点学习

🎯 学习目标

理解算术平方根的概念
理解平方根的概念
掌握平方根的性质

知识点一：算术平方根

📐 定义

如果一个正数 x 的平方等于 a（即 x² = a），那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。
记作：√a，读作"根号 a"。
规定：0 的算术平方根是 0，即 √0 = 0。

若 x² = a（x > 0），则 x = √a

算术平方根是一个非负数

知识点二：平方根

📐 定义

如果一个数 x 的平方等于 a（即 x² = a），那么 x 叫做 a 的平方根。
记作：±√a。

若 x² = a，则 x = ±√a

正数有两个平方根，它们互为相反数

知识点三：平方根的性质

正数有两个平方根，它们互为相反数（如 9 的平方根是 ±3）
0 的平方根是 0（即 √0 = 0）
负数没有平方根

√a 的意义

💡 重要性质

√a ≥ 0（算术平方根是非负数）
a ≥ 0（被开方数必须是非负数）

💡 易错提示

算术平方根是正的那个根，平方根是两个根！
√9 = 3（算术平方根，只取正值）
±√9 = ±3（平方根，两个值）

🎬 动画讲解

📢

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 求36的算术平方根和平方根

求 36 的算术平方根和平方根。

36 的算术平方根 = ? 36 的平方根 = ?

🔍 解题过程

1 分析：什么数的平方等于 36？因为 6² = 36，所以 6 是一个满足条件的数。

2 算术平方根：算术平方根取正数，所以 √36 = 6。

3 平方根：平方根有两个，互为相反数，所以 ±√36 = ±6。

✅ 算术平方根 √36 = 6 | 平方根 ±√36 = ±6

例题 2 求 √81 的值

求 √81 的值。

√81 = ?

🔍 解题过程

1 分析：什么数的平方等于 81？因为 9² = 81，所以 9 满足条件。

2 判断：√81 是算术平方根，根据定义，算术平方根取正值。

3 结果：所以 √81 = 9。

✅ √81 = 9

例题 3 求满足 x²=49 的所有 x

求满足 x² = 49 的所有 x 的值。

x² = 49，求 x

🔍 解题过程

1 分析：x² = 49，说明 x 是 49 的平方根。

2 求解：因为 7² = 49，且 (-7)² = 49，所以 7 和 -7 都满足条件。

3 结果：所以 x = ±7。

✅ x = ±7

🚀 拓展提升

🔄 平方与开平方的关系

平方和开平方互为逆运算：

3² = 9 ↔ √9 = 3

平方是求一个数的二次幂，开平方是求平方的逆运算。注意：算术平方根 √9 只取正值 3，而平方根 ±√9 = ±3。

⚠️ 算术平方根的非负性

√a ≥ 0 是一个非常重要的性质！

√a 表示的是算术平方根，它一定是非负数
被开方数 a 也必须满足 a ≥ 0，负数没有算术平方根
若 √a + √b = 0，则必须 a = 0 且 b = 0（因为两者都非负）

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

√25 = ?

A±5

B5

C-5

D25

第 2 题 ★★☆ 巩固

下列说法正确的是？

A-4 的平方根是 -2

B4 的平方根是 2

C4 的算术平方根是 2

D-4 的算术平方根是 -2

第 3 题 ★★☆ 巩固

49 的平方根是 ______。

第 4 题 ★☆☆ 基础

√144 = ______。

第 5 题 ★★☆ 巩固

下列没有平方根的是？

A0

B1

C-9

D4

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

🎉

课程完成！

恭喜你完成了「平方根」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 算术平方根 √a 是非负数，平方根 ±a 有两个值
② 正数有两个平方根（互为相反数），0 的平方根是 0，负数没有平方根
③ √a ≥ 0 且 a ≥ 0