第二章 · 第一节

有理数的加法与减法

加减法运算法则及综合应用

📖 知识点学习

🎯 学习目标

熟练掌握有理数加法运算法则及加法运算律
掌握减法法则，能进行有理数的加减混合运算
能灵活运用运算律简化计算，解决实际问题

知识点一：有理数加法法则回顾

① 同号 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。如 (+5)+(+3)=+8，(-4)+(-6)=-10
② 异号 异号两数相加：取绝对值较大者的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。如 (+7)+(-3)=+4
③ 相反数 互为相反数的两个数相加得 0。 如 (+5)+(-5)=0
④ 加 0 一个数同 0 相加，仍得这个数。 如 (-7)+0=-7

知识点二：加法运算律

在有理数运算中，加法的交换律和结合律依然成立，灵活运用可以简化计算。

🔀 加法交换律

a + b = b + a

🔗 加法结合律

(a + b) + c = a + (b + c)

知识点三：有理数减法法则

📐 减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

a - b = a + (-b)

减号变加号，减数变相反数（变号）

知识点四：加减混合运算步骤

1

将减法全部转化为加法

→

2

运用运算律简化计算

→

3

求出最终结果

💡 巧用运算律

灵活运用运算律可以简化计算，常用技巧：

同号结合：把正数、负数分别结合相加
凑整结合：把能凑成整十、整百的数结合
相反数结合：把互为相反数的数结合，凑 0

🎬 动画讲解：数轴上的加减法

📢

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 运用同号结合法计算

计算：(-15) + (+23) + (-5) + (+7) = ?

🔍 解题过程

1 同号结合：运用加法交换律与结合律，把负数与负数、正数与正数分别结合： [(-15) + (-5)] + [(+23) + (+7)]

2 分别计算：同号相加，取相同符号，绝对值相加： (-15) + (-5) = -20，（+23）+（+7）= +30，所以原式 = (-20) + (+30)。

3 异号相加得结果：取绝对值较大者的符号「+」，30 - 20 = 10，所以结果为 +10。

✅ (-15) + (+23) + (-5) + (+7) = +10

例题 2 加减混合运算

计算：(+12) - (-8) - (+15) + (-3) = ?

🔍 解题过程

1 减法转加法：减去一个数等于加上它的相反数，把减法全部转化为加法： (+12) + (+8) + (-15) + (-3)

2 同号结合：正数与正数结合，负数与负数结合： [(+12) + (+8)] + [(-15) + (-3)]

3 计算得结果：(+20) + (-18) = +2，所以结果为 +2。

✅ (+12) - (-8) - (+15) + (-3) = +2

例题 3 实际应用：气温变化

某地早晨 6 时的气温为 -3°C，中午上升了 8°C，晚上又下降了 5°C，求晚上的气温。

🔍 解题过程

1 列式：上升记为正，下降记为负，晚上气温 = (-3) + (+8) + (-5)。

2 分步计算：先算 (-3) + (+8) = +5（异号相加，取「+」，8 - 3 = 5）；再算 (+5) + (-5) = 0（互为相反数相加得 0）。

3 得出结果：晚上的气温为 0°C。

✅ 晚上的气温为 0°C

🚀 拓展提升

🧩 运算律的巧用

在进行多个有理数相加时，灵活运用运算律能大大简化计算。常用三种结合技巧：

同号结合法凑零法凑整法

(+23)+(-17)+(+7)+(-3) = [(+23)+(+7)]+[(-17)+(-3)] = (+30)+(-20) = +10

💡 同号结合：正数归正数，负数归负数，分别求和后再相加；凑零法：把互为相反数的数先结合。

🔄 转化思想

减法法则体现了数学中重要的转化思想——把减法运算转化为加法运算，把新问题转化为已掌握的旧问题。

a - b ⟹ a + (-b) （减号变加号，减数变相反数）

进一步地，加减混合运算都可以统一写成加法的形式，称为「代数和」，使运算更加统一、简洁。

📈 实际应用

有理数的加减法在生活中无处不在，例如：

• 股票涨跌：某股票昨日收盘价 20 元，今日先涨 5 元再跌 3 元，则收盘价为 20 + 5 - 3 = 22 元；
• 气温变化：早 6 时 -3°C，中午上升 8°C，晚上下降 5°C，晚上气温为 (-3)+(+8)+(-5) = 0°C；
• 银行存取款：账户原有 +200 元，取款 150 元，再存款 80 元，余额为 (+200)-(+150)+(+80) = +130 元。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

计算 (+8) + (-3) 的结果是？

A+5

B+11

C-5

D-11

第 2 题 ★☆☆ 基础

计算 (-6) - (+4) 的结果是？

A-10

B-2

C+10

D+2

第 3 题 ★★☆ 巩固

计算 (-2.5) + (+3.5) = ______。

第 4 题 ★★☆ 巩固

计算 (+10) - (-6) - (+4) = ______。

第 5 题 ★★☆ 巩固

某股票昨日收盘价为 20 元，今日先涨 5 元再跌 3 元，今日收盘价为？

A22 元

B18 元

C28 元

D12 元

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

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课程完成！

恭喜你完成了「有理数的加法与减法」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 加法法则：同号取同号绝对值相加，异号取大绝对值符号再相减
② 加法运算律：交换律 a+b=b+a，结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
③ 减法法则：a-b = a+(-b)，减法统一转化为加法
④ 巧用运算律：同号结合、凑整结合、相反数结合