第四章 · 第一节

整式

单项式、多项式的概念与次数

📖 知识点学习

🎯 学习目标

理解单项式的概念，能正确指出单项式的系数和次数
理解多项式的概念，能判断多项式的项、次数和项数
能区分单项式和多项式，理解整式的含义

知识点一：单项式

📐 单项式的定义

数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。

如：3x²、-5xy³、7、-x

它们都是数与字母的积（或单独的数、字母）

知识点二：单项式的系数与次数

系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。如 3x² 中系数为 3
次数 单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如 3x²y³ 的次数为 2 + 3 = 5

知识点三：多项式

📐 多项式的定义

几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

如：2x² + 3x - 1

它由 2x²、+3x、-1 三个单项式相加组成

知识点四：多项式的次数与项数

次数 多项式中次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。如 2x² + 3x - 1 的次数为 2
项数多项式中含有单项式的个数叫做项数。如 2x² + 3x - 1 共 3 项，是二次三项式

知识点五：整式

📐 整式的定义

单项式和多项式统称为整式。

💡 易错提示

系数包括符号！如 -3xy 的系数是 -3，不是 3
常数项的次数为 0。如 -7 的次数是 0
字母没有写指数时，指数为 1。如 x 的指数是 1

🎬 动画讲解：认识整式

📢

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 指出单项式的系数和次数

指出下列单项式的系数和次数：-4x²y, 3ab, -7

🔍 解题过程

1 -4x²y：数字因数为 -4，所以系数 = -4；字母 x 的指数为 2，y 的指数为 1，所以次数 = 2 + 1 = 3。

2 3ab：系数 = 3，次数 = 1 + 1 = 2；-7：是单独一个数，系数 = -7，没有字母，次数 = 0。

3 总结：系数是数字因数（包含符号）；次数是所有字母的指数之和；常数项（单独的数）次数为 0。

✅ 系数含符号，次数为各字母指数之和（常数项次数为 0）

例题 2 判断多项式是几次几项式

多项式 3x³ - 2x²y + 5x - 7 是几次几项式？

🔍 解题过程

1 找各项次数：3x³（3 次）、-2x²y（2 + 1 = 3 次）、5x（1 次）、-7（0 次）。

2 确定次数与项数：各项次数中最高的为 3，所以多项式的次数为 3；多项式共有 4 个项。

3 得出结论：3x³ - 2x²y + 5x - 7 是三次四项式。

✅ 3x³ - 2x²y + 5x - 7 是三次四项式

例题 3 判断哪些是整式

下列哪些是整式？x/2, 2/x, 3, -5a²b, x+y, 1/(x+1)

🔍 解题过程

1 是整式：x/2（单项式，数与字母的积）、3（单项式，单独一个数）、-5a²b（单项式）、x+y（多项式，两个单项式的和）。

2 不是整式：2/x 与 1/(x+1) 的分母中含有字母，属于分式，不是整式。

3 总结：判断整式的关键看分母是否含有字母——分母不含字母的代数式才是整式。

✅ 分母不含字母的代数式才是整式

🚀 拓展提升

🔢 π 是数不是字母

在圆的面积公式 πr² 中，π ≈ 3.14 是一个常数，并不是字母。所以 πr² 是数 π 与字母 r 的积，是一个单项式，其系数为 π，次数为 2。

πr² → 系数 = π，次数 = 2

🔗 单项式与多项式的联系

多项式本质上是由若干个单项式相加组成的。多项式的每一项都是一个单项式，因此研究多项式时，常常需要分别分析每一项的系数和次数。

2x² + 3x - 1 = （单项式 2x²）+（单项式 3x）+（单项式 -1）

⚖️ 整式与分式的区别

整式与分式的根本区别在于分母中是否含有字母。分母不含字母的是整式（包括单项式和多项式）；分母中含有字母的则是分式。

x/2 ✓ 整式 2/x ✗ 分式 1/(x+1) ✗ 分式 -5a²b ✓ 整式

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

单项式 -3x²y 的系数是？

A3

B-3

C3x²

D2

第 2 题 ★☆☆ 基础

单项式 2xy³ 的次数是？

A3

B4

C5

D6

第 3 题 ★★☆ 巩固

多项式 x² + 2x - 3 的最高次项是 ______。

第 4 题 ★★☆ 巩固

多项式 3x² - 5x + 1 是 ______ 次三项式。

第 5 题 ★★☆ 巩固

下列式子中，是单项式的是？

Ax+y

B2/x

C-7xy

D1/(x-1)

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

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课程完成！

恭喜你完成了「整式」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 单项式：数与字母的积（单独的数或字母也是单项式）
② 系数 = 数字因数（含符号）；次数 = 所有字母指数之和
③ 多项式：几个单项式的和；次数 = 最高次项的次数
④ 整式 = 单项式 + 多项式；分母含字母的不是整式