第五章 · 第三节

实际问题与一元一次方程

列方程解应用题的建模思想

📖 知识点学习

🎯 学习目标

掌握列方程解应用题的一般方法和步骤
能分析不同类型的实际问题，找出等量关系
培养数学建模能力，将实际问题转化为数学问题

列方程解应用题的一般步骤

1

审题：弄清题意，明确已知量和未知量

→

2

设未知数：用字母表示未知量

→

3

列方程：找等量关系，列出方程

→

4

解方程：求出未知数的值

→

5

检验作答：检验并写出答案

常见题型及等量关系

💰 盈亏问题

售价 - 进价 = 利润
利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%

⚖️ 方案选择问题

比较两种方案的费用
找费用相等的临界点

📦 分配问题

总量不变
各部分之和 = 总量

🔢 数字问题

两位数 = 10 × 十位 + 个位
交换位置：新数 = 10 × 个位 + 十位

💡 关键提示

找等量关系是列方程解应用题的关键！可以借助以下方法辅助分析：

① 画线段图：直观展示数量关系
② 列表格：整理已知量和未知量
③ 找关键词句：如"共""比""多""少""是"等

列方程后一定要检验结果是否符合实际意义！

🎬 动画讲解：实际问题与一元一次方程

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 盈亏问题——打折销售

某商品进价 500 元，标价 800 元，商店要求利润率达到 20%，应打几折？

🔍 解题过程

1 设未知数：设打 x 折，则售价 = 800 × (x/10)，利润 = 800x/10 - 500，要求利润率 = 20%。

2 列方程并求解：(800x/10 - 500) / 500 = 20%，化简得 80x - 500 = 100，即 80x = 600。

3 求解并作答：解得 x = 7.5，所以应打 7.5 折。

✅ 应打 7.5 折

例题 2 方案选择问题

甲、乙两种购物方案：甲方案每件 10 元；乙方案先交会员费 50 元，之后每件 8 元。买多少件时两方案费用相同？

🔍 解题过程

1 设未知数：设买 x 件，则甲方案费用 = 10x，乙方案费用 = 50 + 8x。

2 列方程求解：两方案费用相等，列方程 10x = 50 + 8x，移项得 2x = 50。

3 求解并作答：解得 x = 25，所以买 25 件时两方案费用相同。

✅ 买 25 件时两方案费用相同

例题 3 数字问题

一个两位数，十位数字与个位数字之和为 9，交换十位与个位的位置后，新数比原数大 27，求原数。

🔍 解题过程

1 设未知数：设十位数字为 a，则个位数字为 9 - a。原数 = 10a + (9 - a) = 9a + 9，新数 = 10(9 - a) + a = 90 - 9a。

2 列方程求解：新数 - 原数 = 27，即 (90 - 9a) - (9a + 9) = 27，化简得 81 - 18a = 27。

3 求解并作答：解得 18a = 54，a = 3，个位 = 9 - 3 = 6，所以原数为 36。

✅ 原数为 36

🚀 拓展提升

🧠 数学建模的核心

数学建模就是将实际问题抽象为数学问题的过程。列方程解应用题就是一种简单的数学建模：

现实问题 → 抽象数学模型（方程） → 求解 → 回到现实

实际问题 ⟶ 设未知数、找等量关系 ⟶ 列方程 ⟶ 解方程 ⟶ 检验作答

💡 建模的关键是找到题目中的"等量关系"，它就是列方程的依据。

💰 盈亏问题的分类

盈亏问题中四个核心量之间的关系：

利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)

💡 打折时：售价 = 标价 × (折数/10)。如打 8 折，售价 = 标价 × 0.8。

✅ 检验的实际意义

解方程得到的解必须符合实际背景，否则要舍去。检验时要关注：

人数必须为正整数折数在 0~10 之间数字在 0~9 之间价格为非负数

💡 例如：求得人数 x = 2.5 是不合理的，必须舍去；十位数字不能为 0。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

某商品进价 200 元，售价 250 元，利润率是？

A20%

B25%

C30%

D50%

第 2 题 ★☆☆ 基础

某商品打 8 折后售价 160 元，原价是？

A128 元

B180 元

C200 元

D240 元

第 3 题 ★★☆ 巩固

甲方案每件 15 元，乙方案会员费 40 元后每件 11 元，买 ______ 件时两方案费用相同。

第 4 题 ★★☆ 巩固

某商品进价 100 元，要获得 20% 的利润率，售价应为 ______ 元。

第 5 题 ★★★ 拓展

一个两位数，十位数字为 x，个位数字为 y，交换十位和个位后，新数与原数的差为？

A9(x - y)

B9(y - x)

C9x + 9y

D9(x + y)

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

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课程完成！

恭喜你完成了「实际问题与一元一次方程」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 列方程解应用题五步：审题→设未知数→列方程→解方程→检验作答
② 盈亏问题：利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%
③ 方案选择：找两方案费用相等的临界点
④ 数字问题：两位数 = 10 × 十位 + 个位
⑤ 找等量关系是关键，检验结果要符合实际