📝 例题精讲
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已知点 A、B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上求一点 P，使 PA + PB 的值最小。
A、B 在 l 同侧 → 求 P 使 PA + PB 最小
🔍 解题过程
1
作对称点：作点 A 关于直线 l 的对称点 A'（即过 A 作 l 的垂线，垂足为 O，延长 AO 至 A'，使 OA' = OA）。
2
连线找交点：连接 A'B，交直线 l 于点 P。由轴对称性质 PA = PA'，所以 PA + PB = PA' + PB = A'B。
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证明最小：在 l 上任取另一点 P'，则 P'A + P'B = P'A' + P'B > A'B（三角形两边之和大于第三边）。故 PA + PB 的最小值为 A'B，点 P 即为所求。
✅ 作 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'B 交 l 于 P，PA + PB 最小值 = A'B
已知点 A、B 在直线 l 的异侧，在直线 l 上求一点 P，使 |PA - PB| 的值最大。
A、B 在 l 异侧 → 求 P 使 |PA - PB| 最大
🔍 解题过程
1
作对称点：作点 A 关于直线 l 的对称点 A'。由于 A、B 在 l 异侧，所以 A' 与 B 在 l 的同侧。
2
连线找交点：连接 A'B 并延长交直线 l 于点 P。由轴对称性质 PA = PA'，所以 |PA - PB| = |PA' - PB|。
3
证明最大：由三角形两边之差小于第三边，|PA' - PB| ≤ A'B。当 P、A'、B 三点共线（且 P 不在线段 A'B 上）时取等号，此时 |PA - PB| = A'B 为最大值。
✅ 作 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'B 延长交 l 于 P，|PA - PB| 最大值 = A'B
A、B 两地在河的两岸（岸为平行线 l₁、l₂），桥 MN ⊥ l₁（M 在 l₁ 上，N 在 l₂ 上），求建桥位置使 AM + MN + NB 最小。
桥 MN ⊥ 河岸，河宽固定 → 求 AM + MN + NB 最小
🔍 解题过程
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平移转化：将点 A 沿垂直于河岸的方向（即 MN 方向）平移河宽的距离到 A''。则 AM = A''N（平移对应相等），且 MN = AA''（河宽固定）。
2
转化为线段最短：AM + MN + NB = A''N + AA'' + NB。由于 AA'' = MN（固定值），只需使 A''N + NB 最小，即连接 A''B 交 l₂ 于点 N。
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确定桥位：过 N 作 MN ⊥ l₂ 交 l₁ 于点 M，则 MN 即为造桥位置。此时 AM + MN + NB = A''B + AA''，取得最小值。
✅ 将 A 平移河宽得 A''，连 A''B 交 l₂ 于 N，过 N 作 MN ⊥ l₂，即为最优造桥位置
✏️ 练习巩固
💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
将军饮马问题中，作 A 关于直线 l 的对称点 A'，连接 A'B 交 l 于 P，则 PA + PB 等于？
APA' + PB（即 A'B）
BPA - PB
CA'B - PB
DPA × PB
将军饮马问题的核心思想是？
A利用全等三角形
B利用轴对称将折线转化为直线
C利用勾股定理
D利用平行线性质
关于造桥选址问题，下列说法正确的是？
A桥的位置不影响总路程
B桥必须垂直于河岸且长度固定（等于河宽）
C应该在 A、B 连线与河的交点处建桥
D桥越长总路程越短
🧠 知识点问答
老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！