14.1 整式的乘法 - 动画互动课程

第十四章 · 第一节

整式的乘法

幂的运算性质 · 单项式与多项式的乘法

📖 知识点学习

🎯 学习目标

掌握幂的三个运算性质（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）
掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则
掌握多项式乘多项式的运算法则，能正确展开并合并同类项

知识点一：幂的运算性质

同底数幂相乘：底数不变，指数相加。
公式：a^m · aⁿ = a^m+n（m、n 为正整数）
幂的乘方：底数不变，指数相乘。
公式：(a^m)ⁿ = a^mn（m、n 为正整数）
积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
公式：(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ（n 为正整数）

知识点二：单项式乘单项式

📐 法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

知识点三：单项式乘多项式

📐 法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
m(a + b + c) = ma + mb + mc

知识点四：多项式乘多项式

📐 法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn

💡 重要提示

① 幂的运算性质中，要注意区分「同底数幂相乘」是指数相加，而「幂的乘方」是指数相乘。
② 多项式乘多项式时，展开后要合并同类项，且不能漏项。一个 m 项式乘一个 n 项式，展开后最多有 m×n 项。

🎬 动画讲解

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 幂的运算：a³·a⁵·a² 和 (x³)⁴

计算下列各题：

（1）a³ · a⁵ · a² （2）(x³)⁴

🔍 解题过程

1 第(1)题：运用同底数幂相乘法则
底数不变，指数相加：a³ · a⁵ · a² = a³⁺⁵⁺² = a¹⁰

2 第(2)题：运用幂的乘方法则
底数不变，指数相乘：(x³)⁴ = x^3×4 = x¹²

3 检验与总结
第(1)题用同底数幂相乘（指数相加），第(2)题用幂的乘方（指数相乘），二者不要混淆。

✅ (1) a³ · a⁵ · a² = a¹⁰ (2) (x³)⁴ = x¹²

例题 2 (-2x²y)·(3xy²) 和 (x+2)(x-3)

计算下列各题：

（1）(-2x²y) · (3xy²) （2）(x+2)(x-3)

🔍 解题过程

1 第(1)题：单项式乘单项式
系数相乘：(-2)×3 = -6
同底数幂相乘：x² · x = x²⁺¹ = x³，y · y² = y¹⁺² = y³
所以 (-2x²y)·(3xy²) = -6x³y³

2 第(2)题：多项式乘多项式
用 x+2 的每一项乘 x-3 的每一项：
x · x = x²，x · (-3) = -3x，2 · x = 2x，2 · (-3) = -6
展开：(x+2)(x-3) = x² - 3x + 2x - 6

3 合并同类项
-3x + 2x = -x
所以 (x+2)(x-3) = x² - x - 6

✅ (1) (-2x²y)·(3xy²) = -6x³y³ (2) (x+2)(x-3) = x² - x - 6

例题 3 化简求值：(x+1)(x-1)-(x+2)² 其中 x=1/2

先化简，再求值：(x+1)(x-1) - (x+2)²，其中 x = 1/2。

提示：(x+1)(x-1) 和 (x+2)² 分别展开后再化简

🔍 解题过程

1 展开 (x+1)(x-1)：
= x·x + x·(-1) + 1·x + 1·(-1)
= x² - x + x - 1
= x² - 1

2 展开 (x+2)²：
= (x+2)(x+2)
= x·x + x·2 + 2·x + 2·2
= x² + 2x + 2x + 4
= x² + 4x + 4

3 化简并代入求值：
原式 = (x² - 1) - (x² + 4x + 4)
= x² - 1 - x² - 4x - 4
= -4x - 5
当 x = 1/2 时，原式 = -4 × (1/2) - 5 = -2 - 5 = -7

✅ 化简结果 = -4x - 5，当 x = 1/2 时，原式 = -7

🚀 拓展提升

📊 幂运算性质的逆用

幂的运算性质不仅可以正用，还可以逆用，这在计算和化简中非常有用：

a^m+n = a^m · aⁿ（逆用同底数幂相乘）
a^mn = (a^m)ⁿ（逆用幂的乘方）
aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ（逆用积的乘方）

例如：2³ × 5³ = (2×5)³ = 10³ = 1000，利用逆用积的乘方大大简化了计算。

📋 多项式乘法中不要漏项

多项式乘多项式时，最容易犯的错误就是漏项。一个 m 项式乘一个 n 项式，展开后最多有 m×n 项。

检查方法：在合并同类项之前，数一下展开的项数是否等于 m×n。例如 (a+b+c)(x+y) 展开后应有 3×2 = 6 项（合并前）。

(a+b+c)(x+y) = ax + ay + bx + by + cx + cy

技巧：可以按顺序依次用第一个多项式的每一项去乘第二个多项式的每一项，做到不重不漏。

🎨 幂运算性质的混合应用

当多种幂运算混合在一起时，要分清每一步用哪个法则：

(a²b)³ = (a²)³ · b³ = a⁶b³（先用积的乘方，再用幂的乘方）
(-2a³)² · a⁴ = 4a⁶ · a⁴ = 4a¹⁰（先用积的乘方和幂的乘方，再用同底数幂相乘）
x²m · x^(m+1) = x^(2m+m+1) = x^(3m+1)（注意指数含字母时也要正确相加）

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

计算 a² · a³ · a 的结果是？

Aa⁵

Ba⁸

Ca⁰

Da⁶

第 2 题 ★☆☆ 基础

计算 (x²)³ 的结果是？

Ax⁵

Bx⁶

Cx⁸

D2x³

第 3 题 ★★☆ 巩固

计算 (-2a²b) · (3ab²) = ______。

第 4 题 ★★☆ 巩固

计算 (x+2)(x-3) 的结果是？

Ax² - 6

Bx² - x - 6

Cx² + x - 6

Dx² - 5x - 6

第 5 题 ★★★ 提高

先化简，再求值：(x+1)(x-1) - x(x-2)，其中 x = 3。求化简后的表达式和最终值。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

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课程完成！

恭喜你完成了「整式的乘法」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 同底数幂相乘：a^m·aⁿ = a^m+n（指数相加）
② 幂的乘方：(a^m)ⁿ = a^mn（指数相乘）
③ 积的乘方：(ab)ⁿ = aⁿ·bⁿ
④ 单项式乘单项式：系数相乘、同底数幂相乘
⑤ 多项式乘多项式：每一项乘每一项，再合并同类项