14.2 乘法公式 - 动画互动课程

第十四章 · 第二节

乘法公式

平方差公式 · 完全平方公式 · 几何背景

📖 知识点学习

🎯 学习目标

掌握平方差公式 (a+b)(a-b)=a²-b² 及其推导过程
掌握完全平方公式 (a±b)²=a²±2ab+b² 及其推导过程
理解乘法公式的几何背景，能灵活运用公式进行计算

知识点一：平方差公式

📐 公式

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
(a + b)(a - b) = a² - b²

推导：用多项式乘法展开 (a+b)(a-b) = a² - ab + ab - b² = a² - b²（中间两项抵消）
结构特征：左边是两个二项式相乘，这两项中一项相同（a），另一项互为相反数（b 和 -b）
几何背景：可看作边长为 a 的正方形减去边长为 b 的小正方形后的面积差

知识点二：完全平方公式

📐 公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

推导：(a+b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央
几何背景：(a+b)² 的大正方形面积 = a² 小正方形 + b² 小正方形 + 2 个 ab 长方形

💡 重要提示

① 平方差公式中，两项必须一项相同、一项互为相反数，才能套用公式。
② 完全平方公式不要漏掉中间的 2ab 项，注意符号：(a+b)² 中是 +2ab，(a-b)² 中是 -2ab。
③ (a+b)² ≠ a² + b²，这是最常见的错误！

🎬 动画讲解

📢

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 运用平方差公式：(x+3)(x-3) 和 101×99

运用平方差公式计算：

（1）(x+3)(x-3) （2）101 × 99

🔍 解题过程

1 第(1)题：识别公式结构
(x+3)(x-3) 中，x 是相同项，+3 和 -3 互为相反数。
令 a = x，b = 3，套用平方差公式 (a+b)(a-b) = a² - b²

2 第(1)题：代入公式
(x+3)(x-3) = x² - 3² = x² - 9

3 第(2)题：巧用公式简化计算
101 × 99 = (100+1)(100-1)，令 a=100, b=1
= 100² - 1² = 10000 - 1 = 9999

✅ (1) (x+3)(x-3) = x² - 9 (2) 101 × 99 = 9999

例题 2 运用完全平方公式：(2x+1)² 和 (3x-2)²

运用完全平方公式计算：

（1）(2x+1)² （2）(3x-2)²

🔍 解题过程

1 第(1)题：识别公式结构
(2x+1)² 中，a = 2x，b = 1，用 (a+b)² = a² + 2ab + b²
首平方：(2x)² = 4x²
积的二倍：2 × 2x × 1 = 4x
尾平方：1² = 1

2 第(1)题：组合结果
(2x+1)² = (2x)² + 2×(2x)×1 + 1² = 4x² + 4x + 1

3 第(2)题：用 (a-b)² = a² - 2ab + b²
a = 3x，b = 2
(3x-2)² = (3x)² - 2×(3x)×2 + 2² = 9x² - 12x + 4
结果 = 9x² - 12x + 4

✅ (1) (2x+1)² = 4x² + 4x + 1 (2) (3x-2)² = 9x² - 12x + 4

例题 3 综合运用：(x+2)²-(x+1)(x-1) 其中 x=1

先化简，再求值：(x+2)² - (x+1)(x-1)，其中 x = 1。

提示：分别用完全平方公式和平方差公式展开

🔍 解题过程

1 用完全平方公式展开 (x+2)²：
a = x, b = 2
(x+2)² = x² + 2×x×2 + 2² = x² + 4x + 4

2 用平方差公式展开 (x+1)(x-1)：
a = x, b = 1
(x+1)(x-1) = x² - 1² = x² - 1

3 化简并代入求值：
原式 = (x² + 4x + 4) - (x² - 1)
= x² + 4x + 4 - x² + 1
= 4x + 5
当 x = 1 时，原式 = 4×1 + 5 = 9

✅ 化简结果 = 4x + 5，当 x = 1 时，原式 = 9

🚀 拓展提升

📊 乘法公式的变形应用

灵活运用公式的变形，可以解决很多问题：

a² + b² = (a + b)² - 2ab
a² + b² = (a - b)² + 2ab
(a + b)² - (a - b)² = 4ab
(a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)

例如：已知 a+b=5, ab=6，求 a²+b²。
a²+b² = (a+b)² - 2ab = 5² - 2×6 = 25 - 12 = 13

📋 添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。

a + b + c = a + (b + c)
a - b - c = a - (b + c)
a - b + c = a - (b - c)

添括号在运用乘法公式时非常有用。例如：a - b + c 可以写成 a - (b - c)，然后可以用 (a - (b-c))² 的形式套用完全平方公式。

🎨 三个数的完全平方公式

完全平方公式可以推广到三项式：

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

口诀：各项平方和，加上两两乘积的二倍。

验证：(a+b+c)² = (a+b+c)(a+b+c)，展开后合并同类项即可得到上述结果。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

运用平方差公式计算 (x+5)(x-5) 的结果是？

Ax² - 10

Bx² - 25

Cx² + 25

Dx² - 5

第 2 题 ★☆☆ 基础

运用完全平方公式计算 (x+3)² 的结果是？

Ax² + 9

Bx² + 6x + 9

Cx² - 6x + 9

Dx² + 3x + 9

第 3 题 ★★☆ 巩固

运用乘法公式计算 102² = ______。

第 4 题 ★★☆ 巩固

计算 (2x-1)² 的结果是？

A4x² - 1

B4x² + 4x + 1

C4x² - 4x + 1

D2x² - 4x + 1

第 5 题 ★★★ 提高

已知 a+b=7, ab=12，求 a²+b² 的值。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

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课程完成！

恭喜你完成了「乘法公式」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 平方差公式：(a+b)(a-b) = a²-b²（一项相同，一项相反）
② 完全平方公式：(a+b)² = a²+2ab+b²
③ 完全平方公式：(a-b)² = a²-2ab+b²
④ 口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央
⑤ 公式变形：a²+b² = (a+b)²-2ab