15.1 分式 - 动画互动课程

第十五章 · 第一节

分式

从分数到分式，探索代数式的新世界

📖 知识点学习

🎯 学习目标

理解分式的概念，能识别分式
掌握分式有意义的条件和分式值为0的条件
理解分式的基本性质，能进行约分和通分

知识点一：分式的概念

📐 定义

一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 AB 叫做分式。其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

💡 关键区分

分式与整式的区别在于分母中是否含有字母。例如：x5 是整式，而 5x 是分式。

知识点二：分式有意义的条件

📐 条件

分式 AB 有意义的条件是分母 B ≠ 0。
反之，当 B = 0 时，分式无意义。

知识点三：分式值为0的条件

📐 条件

分式 AB 的值为 0 的条件是：分子 A = 0 且 分母 B ≠ 0。
两个条件缺一不可！

知识点四：分式的基本性质

📐 基本性质

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

AB = A × MB × M ， AB = A ÷ MB ÷ M （M ≠ 0）

知识点五：约分与通分

约分：把分式中分子和分母的公因式约去，使分式化为最简分式或整式。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式。
通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。通分的关键是找最简公分母。

🎬 动画讲解

📢

点击「播放动画」按钮开始学习...

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1 判断分式并讨论分式的意义

下列式子中哪些是分式？

2x3 ， x+1x-2 ， 32a ， x²-12 ， 5x²+1

当 x 为何值时，分式 x+1x-2 有意义？无意义？值为0？

🔍 解题过程

1 判断分式：看分母中是否含有字母。 2x3 分母是3（无常数）→ 整式； x²-12 分母是2 → 整式。
其余三个分母分别含字母 x、a、x² → 都是分式。

2 有意义与无意义：分式 x+1x-2 有意义，需分母 ≠ 0，即 x - 2 ≠ 0，所以 x ≠ 2 时有意义；当 x = 2 时，分母为0，分式无意义。

3 值为0：需分子 = 0 且分母 ≠ 0。由 x + 1 = 0 得 x = -1，代入分母：-1 - 2 = -3 ≠ 0，满足条件。所以当 x = -1 时分式值为0。

✅ 分式有：x+1x-2、32a、5x²+1；有意义：x≠2；无意义：x=2；值为0：x=-1

例题 2 约分

约分：

① 6a²b3ab² ② x²-4x²+4x+4

🔍 解题过程

1 约分①：找分子分母的公因式。6a²b 和 3ab² 的公因式为 3ab。

6a²b3ab² = 3ab · 2a3ab · b = 2ab

2 约分②（分解因式）：分子 x²-4 = (x+2)(x-2)，分母 x²+4x+4 = (x+2)²，公因式为 (x+2)。

x²-4x²+4x+4 = (x+2)(x-2)(x+2)²

3 约去公因式：

(x+2)(x-2)(x+2)² = x-2x+2

这是最简分式，无法继续约分。

✅ ① 2ab　　② x-2x+2

例题 3 通分

通分：

1x 和 1x+1

🔍 解题过程

1 找最简公分母：两个分母分别是 x 和 (x+1)，它们没有公因式，所以最简公分母为 x(x+1)。

2 第一个分式通分：分母 x 需乘 (x+1) 变为 x(x+1)，分子也要乘 (x+1)。

1x = 1 · (x+1)x · (x+1) = x+1x(x+1)

3 第二个分式通分：分母 (x+1) 需乘 x 变为 x(x+1)，分子也要乘 x。

1x+1 = 1 · x(x+1) · x = xx(x+1)

✅ 通分结果：x+1x(x+1) 和 xx(x+1)，最简公分母为 x(x+1)

🚀 拓展提升

📊 分式与分数的比较

比较项目	分数	分式
形式	A/B（A、B为整数）	A/B（A、B为整式，B含字母）
有意义的条件	B ≠ 0	B ≠ 0
值为0的条件	A = 0 且 B ≠ 0	A = 0 且 B ≠ 0
基本性质	分子分母同乘/除以非零数，值不变	分子分母同乘/除以非零整式，值不变
约分	约去公因数	约去公因式
通分	找最小公倍数	找最简公分母

分式是分数的推广，当分式中的字母取定数值时就变成了分数。分式的所有性质都与分数类比得到。

🔢 求分式值的技巧——整体代入

已知 1a - 1b = 3，求 b-2ab-aa-2ab-b 的值。

解：由 1/a - 1/b = 3 得 (b-a)/(ab) = 3，即 b - a = 3ab
原式 = -(a - 2ab + b) 的分子分母重新组合
= (b - a - 2ab) / (a - b - 2ab) = (3ab - 2ab) / (-3ab - 2ab) = ab / (-5ab) = -1/5

技巧：当直接求 a、b 困难时，可利用已知条件求出 a-b 或 ab 等整体，再代入求值。

📐 最简公分母的求法

找最简公分母的步骤：

第一步：将各分母分解因式（取系数为正）
第二步：取各分母系数的最小公倍数
第三步：取各分母中所有字母（因式）的最高次幂
第四步：将以上结果相乘，即为最简公分母

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题 ★☆☆ 基础

下列式子中，是分式的有（　）个：
x3， 3x， x+12， 2x+1， a²+b²a-b

A2 个

B4 个

C3 个

D5 个

第 2 题 ★☆☆ 基础

当 x 为何值时，分式 x-3x+2 有意义？

Ax = 3

Bx = -2

Cx ≠ -2

Dx ≠ 3

第 3 题 ★★☆ 巩固

若分式 x²-9x-3 的值为0，则 x = ______

第 4 题 ★★☆ 巩固

约分 6a³b²9a²b 的结果是？

A2a/3

B2ab/3

C2b/3

D3ab/2

第 5 题 ★★★ 挑战

分式 1x-1 和 1x+1 的最简公分母是？

Ax - 1

B(x-1)(x+1)

C2(x-1)(x+1)

D2x

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

🎉

课程完成！

恭喜你完成了「分式」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 分式：A/B，B中含有字母
② 分式有意义 ⇔ 分母 B ≠ 0
③ 分式值为0 ⇔ 分子 A = 0 且分母 B ≠ 0
④ 分式基本性质：乘/除以同一个非零整式，值不变
⑤ 约分：约去公因式化为最简分式；通分：化为同分母