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第二十四章 · 第三节
正多边形和圆
从圆的等分到正多边形的计算

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解正多边形的概念及其与圆的关系
  • 掌握正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念
  • 能运用公式进行正多边形的有关计算
  • 了解正多边形的对称性
知识点一：正多边形的概念
⬡ 正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形（三边相等、三角相等）、正方形（四边相等、四角相等）等。
知识点二：正多边形与圆的关系
⭕ 与圆的关系
把圆分成 n（n ≥ 3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形。
反过来，每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆。
知识点三：正多边形的基本要素
  • 中心：正多边形外接圆（内切圆）的圆心。
  • 半径（R）：外接圆的半径，即中心到顶点的距离。
  • 中心角：每一边所对的圆心角，等于 360°/n。
  • 边心距（r）：内切圆的半径，即中心到边的距离。
知识点四：正多边形的有关计算公式
中心角
中心角 = 360° / n
边长 a
a = 2R·sin(180°/n)
边心距 r
r = R·cos(180°/n)
面积 S
S = ½ × 周长 × 边心距
💡 解题关键
正多边形的计算核心是中心到边的中点、中心到顶点构成的直角三角形。 在这个直角三角形中，斜边为半径 R，一条直角边为边心距 r，另一条直角边为边长的一半（a/2）， 利用勾股定理和三角函数即可求解。

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📝 例题精讲

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例题 1 求正六边形的中心角和边长
已知正六边形 ABCDEF 的外接圆半径 R = 6，求它的中心角和边长。
正六边形，R = 6，求中心角和边长 a
🔍 解题过程
1 求中心角：正六边形 n = 6，中心角 = 360°/n = 360°/6 = 60°。
2 求边长：边长 a = 2R·sin(180°/n) = 2 × 6 × sin(30°) = 2 × 6 × ½ = 6。
3 特殊情况：正六边形边长恰好等于半径（a = R = 6），这是正六边形的特殊性质，因为中心角 60° 使得中心与两顶点构成等边三角形。
✅ 中心角 = 60°，边长 a = 6
例题 2 求正多边形的面积
已知正六边形的外接圆半径 R = 8，求正六边形的面积。（保留根号）
R = 8，正六边形，求面积 S
🔍 解题过程
1 求边长和周长：正六边形 a = 2R·sin30° = R = 8，周长 = 6 × 8 = 48。
2 求边心距：边心距 r = R·cos30° = 8 × (√3/2) = 4√3。
3 求面积：S = ½ × 周长 × 边心距 = ½ × 48 × 4√3 = 96√3。
✅ S = 96√3
例题 3 正多边形与圆的综合计算
正方形 ABCD 内接于 ⊙O，若正方形的边长 a = 4，求 ⊙O 的半径 R 和正方形的边心距 r。
正方形，a = 4，求 R 和 r
🔍 解题过程
1 求半径：正方形 n = 4，a = 2R·sin(180°/4) = 2R·sin45° = 2R × (√2/2) = R√2。所以 R = a/√2 = 4/√2 = 2√2。
2 求边心距：r = R·cos45° = 2√2 × (√2/2) = 2。
3 验证：正方形对角线 = a√2 = 4√2 = 2R ✓，边心距 = 边长/2 = 2 ✓（正方形的边心距是边长的一半）。
✅ R = 2√2，r = 2

🚀 拓展提升

🔄 正多边形的对称性

正多边形具有丰富的对称性：

① 轴对称：正 n 边形有 n 条对称轴。当 n 为偶数时，对称轴包括过相对顶点的直线和过对边中点的直线；当 n 为奇数时，每条对称轴过一个顶点和对边中点。
② 中心对称：当 n 为偶数时，正 n 边形是中心对称图形，对称中心就是正多边形的中心；当 n 为奇数时，不是中心对称图形。
③ 旋转对称：绕中心旋转 360°/n 的整数倍，图形与自身重合。

🧩 正多边形的镶嵌（密铺）

用正多边形无缝隙、不重叠地铺满平面，叫做正多边形的镶嵌。单一正多边形能镶嵌的条件是：其内角能整除 360°。

正 n 边形内角 = (n-2)×180°/n，能镶嵌 ⟺ 360° 能被内角整除

经计算，只有正三角形（内角60°，6个拼360°）、正方形（内角90°，4个拼360°）、正六边形（内角120°，3个拼360°）能单独镶嵌平面。蜂巢结构正是正六边形镶嵌的典型例子。

📐 正六边形的特殊性质

正六边形有一个非常特殊的性质：边长等于半径。这是因为中心角为 60°，中心与相邻两顶点构成的三角形是等边三角形。

正六边形可以分成 6 个全等的等边三角形，每个三角形面积为 (√3/4)a²，所以正六边形面积 = 6 × (√3/4)a² = (3√3/2)a²。这个公式在计算中非常方便。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
正五边形的中心角是？
A60°
B72°
C90°
D108°
第 2 题 ★★☆ 巩固
正六边形的边长 a 与外接圆半径 R 的关系是？
Aa = R/2
Ba = R
Ca = √2 R
Da = √3 R
第 3 题 ★★☆ 巩固
正方形外接圆半径 R = 4，则正方形的边长 a = ______ 。
第 4 题 ★★☆ 巩固
下列正多边形中，不能单独镶嵌（密铺）平面的是？
A正三角形
B正方形
C正五边形
D正六边形
第 5 题 ★★★ 拓展
正六边形边长 a = 4，则它的面积 S = ______ 。（保留根号）

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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课程完成！

恭喜你完成了「正多边形和圆」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 正多边形：各边相等、各角相等
② 等分圆周依次连线 → 正n边形
③ 中心角 = 360°/n；边长 = 2R sin(180°/n)
④ 边心距 = R cos(180°/n)；面积 = ½×周长×边心距
⑤ 正六边形特殊性质：边长 = 半径

✏️ 做练习题