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第二章 · 第一节
等式性质与不等式性质
不等式的基本性质 · 作差比较法 · 大小比较

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 掌握不等式的基本性质
  • 理解作差比较法比较大小的原理
  • 会运用不等式性质进行变形
  • 注意不等式两边乘除负数时的方向变化
知识点一：不等式的基本性质
性质1（对称性）
若 a>b，则 b<a；若 b<a，则 a>b。
性质2（传递性）
若 a>b，b>c，则 a>c。
性质3（可加性）
若 a>b，则 a+c > b+c（c 为任意实数）。不等式两边加（减）同一个数，不等号方向不变。
性质4（可乘性）
若 a>b，c>0，则 ac>bc；若 a>b，c<0，则 ac<bc。乘以负数不等号方向改变。
其他常用性质
  • 同向相加：a>b，c>d ⟹ a+c>b+d
  • 同向同正相乘：a>b>0，c>d>0 ⟹ ac>bd
  • 正数乘方：a>b>0 ⟹ aⁿ>bⁿ（n∈N*，n≥1）
  • 正数开方：a>b>0 ⟹ √a>√b
知识点二：作差比较法
比较大小原理
a−b>0 ⟺ a>b；a−b=0 ⟺ a=b；a−b<0 ⟺ a<b。通过作差判断差的符号来比较大小。
差的符号
a−b
>0 ⟺ a>b
差的符号
a−b
=0 ⟺ a=b
差的符号
a−b
<0 ⟺ a<b

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：作差比较法

💡 调节 a、b 的值，观察数轴位置和 a−b 的符号，理解大小比较
⚙️ 实验参数
a − b3.0
差的符号正
结论a > b
📋 实验结论
作差法是比较两数大小的核心方法：a−b 的符号决定 a 与 b 的大小关系。差为正则 a 大，差为负则 a 小，差为零则相等。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1作差比较大小
比较 (x+1)(x+3) 与 (x+2)² 的大小。
🔍 解题过程
1作差：(x+1)(x+3)−(x+2)² = (x²+4x+3)−(x²+4x+4)。
2化简：=3−4=−1<0。
✅ 因差为 −1<0，故 (x+1)(x+3) < (x+2)²。
例题 2运用不等式性质
已知 a>b>0，c<0，比较 ac 与 bc 的大小。
🔍 解题过程
1由 a>b，且 c<0（负数），运用可乘性。
2两边同乘负数 c，不等号方向改变：ac<bc。
✅ ac<bc（乘负数，不等号反向）。

🚀 拓展提升

不等式性质的易错点

  • 两边同乘除负数，不等号方向必须改变
  • 同向不等式只能相加，不能相减
  • 同向同正不等式才能相乘
  • 不等式两边不能随意取倒数（需同号）

作差法的步骤

作差→变形（因式分解、配方等）→定号（判断正负）→结论。关键是变形后能判断符号。

作商法

当两数同号时，可用作商法：a/b 与 1 比较。a/b>1（a,b同正）⟹ a>b。适用于幂、指数形式。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
若 a>b，则下列一定成立的是？
Aac>bc
Ba+c>b+c
Cac<bc
Da²>b²
第 2 题★☆☆ 基础
若 a>b>0，c<0，则？
Aac>bc
Bac<bc
Cac=bc
D无法比较
第 3 题★★☆ 巩固
比较 x²+x 与 3x−2（x∈R）的大小，下列正确的是？
Ax²+x < 3x−2
Bx²+x > 3x−2
Cx²+x = 3x−2
D无法比较
第 4 题★★☆ 巩固
若 a<b<0，则下列正确的是？
Aa² < b²
Ba² > b²
Ca² = b²
D无法比较
第 5 题★★★ 拓展
已知 a>b>0，比较 1/a 与 1/b 的大小（写出结论）。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「等式性质与不等式性质」的学习！

📌 核心要点：
① 对称性、传递性、可加性、可乘性
② 两边同乘除负数，不等号方向改变
③ 同向不等式可相加，同向同正可相乘
④ 作差法：a−b>0 ⟺ a>b
⑤ 作差法步骤：作差→变形→定号→结论