← 课程目录 第二章 一元二次函数、方程和不等式 > 2.2 基本不等式
第二章 · 第二节
基本不等式
√(ab) ≤ (a+b)/2 · 几何意义 · 求最值应用

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 掌握基本不等式 √(ab) ≤ (a+b)/2
  • 理解基本不等式的几何意义
  • 会用基本不等式求最值
  • 明确等号成立的条件
知识点一：基本不等式
基本不等式
对任意正数 a、b，有 √(ab) ≤ (a+b)/2，当且仅当 a=b 时等号成立。
名称与记忆
  • √(ab) 叫 a、b 的几何平均数
  • (a+b)/2 叫 a、b 的算术平均数
  • 几何平均数 ≤ 算术平均数（均值不等式）
  • 变形：ab ≤ ((a+b)/2)²，a+b ≥ 2√(ab)
知识点二：几何意义
几何解释
以 a+b 为直径作半圆，过直径分点（分成长为 a、b 两段）作垂线交半圆于点，该垂线段长为 √(ab)，它不超过半径 (a+b)/2。直观体现 √(ab) ≤ (a+b)/2。
知识点三：用基本不等式求最值
求最值法则
设 a、b 为正数：
① 若 a+b=S（定值），则当 a=b 时，ab 取最大值 S²/4；
② 若 ab=P（定值），则当 a=b 时，a+b 取最小值 2√P。
使用基本不等式的三要素
  • 一正：a、b 必须为正数
  • 二定：求和的最小值需积为定值；求积的最大值需和为定值
  • 三相等：等号要能取到（a=b 有解）

🎬 动画讲解

📢
点击「播放动画」按钮开始学习...

🧪 互动实验：均值不等式验证

💡 调节正数 a、b，观察几何平均 √(ab) 与算术平均 (a+b)/2 的大小，等号何时成立
⚙️ 实验参数
几何平均 √(ab)4.00
算术平均 (a+b)/24.00
关系相等
📋 实验结论
当 a=b 时，√(ab)=(a+b)/2，等号成立；当 a≠b 时，√(ab)<(a+b)/2。几何平均数不超过算术平均数。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1求和的最小值
已知 x>0，求 x + 4/x 的最小值。
🔍 解题过程
1x 与 4/x 均为正，积 x·(4/x)=4 为定值。
2由基本不等式 x+4/x ≥ 2√(x·4/x)=2√4=4。
✅ 当 x=4/x 即 x=2 时取等，最小值为 4。
例题 2求积的最大值
已知 x>0，y>0，且 x+y=8，求 xy 的最大值。
🔍 解题过程
1x、y 为正，和 x+y=8 为定值。
2由 xy ≤ ((x+y)/2)² = (8/2)² = 16。
✅ 当 x=y=4 时取等，xy 最大值为 16。

🚀 拓展提升

基本不等式的变形

  • a²+b² ≥ 2ab（a,b∈R）
  • ab ≤ ((a+b)/2)²（a,b>0）
  • a+b ≥ 2√(ab)（a,b>0）
  • (a+b)/2 ≥ √(ab)（几何平均≤算术平均）

三个数的均值不等式

n 个正数的算术平均不小于几何平均：(a₁+a₂+…+aₙ)/n ≥ ⁿ√(a₁a₂…aₙ)，等号当且仅当各数相等时成立。

"1的代换"技巧

当条件含 x+y=1 类约束时，可构造"1"进行配凑。如已知 x+y=1，求 1/x+1/y 最小值：1/x+1/y=(x+y)(1/x+1/y)=2+x/y+y/x≥4。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
基本不等式 √(ab) ≤ (a+b)/2 中，等号成立的条件是？
Aa>b
Ba<b
Ca≠b
Da=b
第 2 题★☆☆ 基础
设 a>0，b>0，下列正确的是？
A√(ab) ≤ (a+b)/2
B√(ab) ≥ (a+b)/2
C√(ab) = (a+b)/2
D无法比较
第 3 题★★☆ 巩固
x>0 时，x + 9/x 的最小值是？
A3
B6
C9
D12
第 4 题★★☆ 巩固
x>0,y>0, x+y=6, 则 xy 的最大值是？
A6
B9
C12
D18
第 5 题★★★ 拓展
已知 x>0，求 2x + 8/x 的最小值。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「基本不等式」的学习！

📌 核心要点：
① 基本不等式：√(ab) ≤ (a+b)/2（a,b>0）
② 等号条件：当且仅当 a=b 时成立
③ 几何平均数 ≤ 算术平均数
④ 求最值三要素：一正、二定、三相等
⑤ 和定积最大，积定和最小